f(x+a)= f(x+b) 周期性 T=|a-b| 自变量差为定值，函数值相等(差为零)
ab f(a+x)= f(b-x) x 轴对称 2 自变量和为定值，函数值相等(差为零) ab c f(a+x)=- f(b-x)+c , ) 中心对称 ( 2 2 自变量和为定值，函数值和为定值
6
例1：⑴ 若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x∈R都有 f(3+x)=f(2-x)，则实数a=数f(x)满足f(x)= f(a-x)时，对称轴为______. 当函数f(x)满足f(a+x)= f(b-x)时，对称轴为______.
自变量和为定值，函数值相等
4
若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关 系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的 对称中心： ① f(2+x)= - f(2-x) ② f(x)= - f(4-x) 对称中心为 ③ f(x-1)= - f(5-x)
一轴一中心： x=a 、(b,0)
=> 周期 T=4|a-b|
9
例6：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对 任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又当x∈[-1,1]时 f(x)=x3 ， ⑴ 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴； ⑵ 当x∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式． 例7：⑴ 若函数f(x)对任意x∈R都有f(a+x)=f(b-x)， 则函数 f(x)的对称轴为__________. ⑵ 两个函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关 于直线_________对称．
8
例5：若定义域为R的函数f(x)满足对任意x∈R都有 f(2+x)=f(2-x)， f(1+x)=f(5-x) ，试判断函数 f(x)是否是周期函数？ 思考：你可以推广得到关于周期的一般性结论吗？ 两对称轴： x=a、x=b => 周期 T=2|a-b| => 周期 T=2|a-b|
两对称中心：(a,0)、(b,0)
1 ⑵ 奇函数f(x)对x∈R都有f(x+4)= ，且 f ( x)
当x∈(0,2)时， f(x)=x，则f(2011)=_____．
例4：若函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=f(2-x)，且 f(x+2)=f(x) ，当x∈[2,3]时， f(x)=x2+x ． ⑴ 分别求下列区间上函数f(x)的解析式： ① [1,2] ② [4,5] ③ [2011,2012] ⑵ 求区间[2k,2k+2](k∈Z)上函数f(x)的解析式.
周期性 对称性
周期性定义： 若T为非零常数，对于定义域内的任一x， 使f(x+T)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数， T叫做这个函数的一个周期．
思考： 若T为函数f(x)的一个周期，则-T、2T、 3T、kT (k为非零整数)是否也是这个函数的 一个周期？请说明理由．
2
若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列 关系式，试分别探究函数f(x)的周期性并写出函数 f(x)的一个周期： ① f(x+6)= f(x) ② f(x+3)= f(x-3) 周期为 ③ f(x+7)= f(x+1)
T 6
若函数f(x)对于定义域内任意x都满足f(x+a)= f(x+b) (a≠b)，则函数f(x)有何性质？
T | a b |
自变量差为定值，函数值相等
3
若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列 关系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数 f(x)的对称轴： ① f(2+x)= f(2-x) ② f(x)= f(4-x) 对称轴为 ③ f(x-1)= f(5-x)
10
⑵ 若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x∈R都 有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．
例2：请写出函数f(x)=sinx的对称轴和对称中心， 并利用本节课所讲结论证明．
7
例3：⑴ 函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=-f(x)，若 f(2)=3，则f(2012)=______．
(2, 0)
对上述结果进行分析归纳： 当函数f(x)满足f(x)=- f(a-x)时，对称中心为___. 当函数f(x)满足f(a+x)=- f(b-x)时，对称中心为___. 当函数f(x)满足f(a+x)=- f(b-x)+c时，对称中心为___.
自变量和为定值，函数值和为定值
5
一个函数f(x)对于定义域内任意x都满足下列各式：