向量OA的坐标a1, a2, a3分别是 OA 在三个坐标轴
上的投影.
利用勾股定理从图中可得
||OA|| a12a2 2a3 2
z
||kOA||(k1 )a 2 (k2)a 2 (k3)a 2
|k| a12a22a32
a3
A
| k | ||OA||
o
x
a1
a2
y
例 p
5i设 mj4k3i，求5向j 量8ak， 4nm
例 化简 a b 51b b 3a 2 5
解 a b 51b b 3a 2 5
arbr52brbr3ar
(13)ar1521br
2a 5b. 2
4. 基向量与线性表出
i ( 1 , 0 , 0 ) j , ( 0 , 1 , 0 ) k , ( 0 , 0 , 1 )
单位向量
i,
2i 4 3n
j 7k ， p在 x 轴上
的投影及在 y 轴上的分向量.
解 a 4 m 3 n p
4 ( 3 i 5 j 8 k ) 3 ( 2 i 4 j 7 k )
(5 i j 4 k ) 1i 3 7 j 1k ,5
在 x轴上的投影为a1 13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
yoz面 oxoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ Ⅴ
空间的点M 1 1有序数组(x, y, z)
x,y,z称为 M 的 点 坐 . 标
特殊点的表示: 坐标轴上的点P, Q , R, 坐标面上的点A, B, C, 原点O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
C(x,0,z)
o x P(x,0,0)
五、线性运算的几何意义
设O ( a 1 , A a 2 ) O , ( b 1 , B b 2 ) 则 , y
uuur OA O B (a 1b 1,a 2b 2) OP
P j O B r x a 1 P b 1 b 1 a 1 a2+bb22 B
+ = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3),
k • =(ka1, ka2, ka3 ). + 称为加法， k • 称为数乘.
加法与数乘统称为线性运算.
- = +（- ）
= (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3).
3. 线性运算满足的运算规律
(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) + 0 = ; (4) +(- ) = 0 ; (5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( +) = k +k ; (8) (k+l) = k +l .
. B(0,y,z) M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
点的坐标的符号特点
卦限
坐标
I Ⅱ ⅢⅣⅤⅥ Ⅶ Ⅷx＋ － －＋＋－ － ＋
y
＋ ＋ －－＋＋ － －
z
＋ ＋ ＋＋－－ － －
例 在O-xyz坐标系中表示以下三个点： M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).
上的投影定义为
A
o A'
PrjuAB
||A’B’||, A’B’与u同向
- ||A’B’||, A’B’与u反向
B
B'
u
向量在轴上的投影有以下两个性质：
(1)向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB ||A|B |cos
证
B
A
B
A
B
PrjuAB PrjuAB
z
. 3
M1
O
1
2y
x
. M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).
z
M2
3
z
-1
O 2y
x
O
1
x
-3
2
y
. M3
二、 向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
aB
向量的表示： a或 AB
A
以A为起点，B为终点的有向线段.
向量的模：向量的大小. ||a||或||AB||
（模又称为长度或范数）.
3.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 二、 向量的概念 三、向量的线性运算 四、向量在轴上的投影 五、 线性运算的几何意义 六、向量的模与方向余弦
一 空间直角坐标系
过空间一定点 o, 做三条互相垂直的数轴,组成一个 空间直角坐标系.三条坐标轴符合右手规则
• 坐标原点o
• 坐标轴
Ⅲ
• 坐标面
Ⅳ
• 卦限(八个)
||A|B |cos
u u
由性质1容易看出：
(1)0 , 投影为正；
2
(2)
,
2
投影为负；
(3) ,
2
投影为零；
c
b
a
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
(2)两个向量的和在轴上的投影等于两个向 量在该轴上的投影之和.
（可推广到有限多个）
P r j u ( a r 1 a r 2 ) P r j u a r 1 P r j u a r 2 .
b
a
a ,b b,a (0)
类似地，可定义向量与一轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
2. 空间一点在轴上的投影
•A
过点A作轴u的垂直
A
u
平面，交点A即为点 A在轴u上的投影.
3. 向量在轴上的投影
过空间点A,B作平面与轴 u垂直，
与轴 u相交于A’, B’,向量 AB 在轴 u
单位向量：模为1的向量. 零向量：模为 0 的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
rr
a
ab
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空 构成间的直向角量坐标OuuP系ur 中任一点 P与原点
z
P
o
y
x
三、向量的线性运算
1. 向量的分量：
把向量 a作平行移动，使其起点
j,k称为基向量.
a=(a1, a2, a3)
=(a1 , 0,0) +(0, a 2, 0)+(0, 0, a3)
z
a 1 i a 2 j a 3 k
称
a可由
i, j,k线性表出。
k
O
j
a 1 i 称为 a 在 x 轴 向 分上 向量 量。的i
y
x
四、向量在轴上的投影
向1.量空a间a0与两,向向b量量的b0,的夹夹角角的概念：
与原点重合。
设称其a1,终a2点, aA3为的向坐量标为a(aO1,Aa的2, a分3)量, 则 或坐标，
z
a3
A
a
记为 a=(a1, a2, a3). r
零向量 0(0,0,0)
a1o
x
a2
y
2. 向量的线性运算
定义 设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3),
=
a1 =b1, a2 =b2, a3=b3.