2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.求证： EF与⊙ O相切 .证明：连结 OE， AD.∵AB是⊙O的直径，∴ AD⊥ BC.又∵ AB=BC，∴∠ 3=∠ 4.⌒⌒∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2.又∵ OB=OE， OF=OF，∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） .∴∠ OBF=∠ OEF.∵ BF与⊙ O相切，∴OB⊥ BF.∴∠ OEF=90.∴EF与⊙ O相切 .说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证： PA与⊙ O相切 .证明一：作直径 AE，连结 EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠ DAB=∠ DAC.∵PA=PD，∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC.∵∠ 2=∠ B+∠ DAB，∴∠ 1=∠ B.又∵∠ B=∠ E，∴∠ 1=∠ E∵ AE是⊙ O的直径，∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90.∴∠ 1+∠ EAC=90.即 OA⊥ PA.∴PA 与⊙ O相切 .证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE.∵AD是∠ BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥ BC.∴∠ E+∠ BDE=90.∵OA=OE，∴∠ E=∠ 1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠ PDA.又∵∠ PDA=∠ BDE,∴∠ 1+∠ PAD=90即 OA⊥ PA.∴ PA与⊙ O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M求证： DM与⊙ O相切 .证明一：连结 OD.∵A B=AC，∴∠ B=∠ C.∵OB=OD，∴∠ 1=∠ B.∴∠ 1=∠ C.∴OD∥ AC.∵DM⊥ AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙ O相切证明二：连结 OD， AD.∵AB是⊙O的直径，∴ AD⊥BC.又∵ AB=AC,∴∠ 1=∠ 2.∵DM⊥ AC，∴∠ 2+∠ 4=900∵OA=OD，∴∠ 1=∠ 3.∴∠ 3+∠ 4=900.即 OD⊥ DM.∴DM是⊙ O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的利用已知及图上已知.DC. 证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分例 4如图，已知：AB是⊙ O的直径，点 C 在⊙ O上，且∠ CAB=30， BD=OB， D在 AB的延长线上 .求证： DC是⊙ O的切线证明：连结 OC、 BC.∵OA=OC，∴∠ A=∠ 1=∠ 300.∴∠ BOC=∠ A+∠ 1=600.又∵ OC=OB，∴△ OBC是等边三角形.∴ OB=BC.D∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥ CD.∴DC是⊙ O的切线 .说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.2例 5如图，AB是⊙ O的直径，CD⊥ AB，且OA=OD·OP.求证： PC是⊙ O的切线 .证明：连结 OC2∵ OA=OD· OP， OA=OC，2∴ OC=OD· OP，OC OP OD .OC又∵∠ 1=∠ 1，∴△ OCP∽△ ODC.∴∠ OCP=∠ ODC.∵ CD⊥ AB，∴∠ OCP=90.∴ PC是⊙ O的切线 .说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6如图， ABCD是正方形， G是 BC延长线上一点， AG交 BD于 E，交 CD于F.求证： CE与△ CFG的外接圆相切 .分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取 FG的中点 O，连结 OC，证明 CE⊥ OC即可得解 .证明：取 FG中点 O，连结 OC.∵ ABCD是正方形，∴ BC⊥ CD，△ CFG是 Rt△∵ O是 FG的中点，∴ O是 Rt △ CFG的外心 .∵ OC=OG，∴∠ 3=∠ G，∵ AD∥ BC，∴∠ G=∠ 4.∵AD=CD， DE=DE，∠ADE=∠ CDE=45，∴△ ADE≌△ CDE（ SAS）∴∠ 4=∠1，∠ 1=∠ 3.∵∠ 2+∠3=900,∴∠ 1+∠2=900.即 CE⊥ OC.∴ CE与△ CFG的外接圆相切OA⊥ l ， A 为垂足，证二、若直线l 与⊙ O没有已知的公共点，又要证明l是⊙ O的切线，只需作明 OA是⊙ O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例 7 如图， AB=AC，D 为 BC中点，⊙ D与 AB切于 E 点 .求证： AC与⊙ D 相切 .证明一：连结 DE，作 DF⊥ AC， F 是垂足 .∵AB 是⊙ D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠ DEB=∠ DFC=90.∵AB=AC，∴∠ B=∠ C.又∵ BD=CD，∴△ BDE≌△ CDF（ AAS）∴D F=DE.∴F在⊙ D上.∴AC是⊙ D的切线证明二：连结 DE， AD，作 DF⊥ AC， F 是垂足 .∵AB与⊙D 相切，∴ DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠ 1=∠ 2.∵ DE⊥AB， DF⊥AC，∴ DE=DF.∴F在⊙ D上.∴AC与⊙ D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例 8 已知：如图， AC， BD与⊙ O切于 A、 B，且求证： CD是⊙ O的切线 .证明一：连结 OA， OB，作 OE⊥ CD， E 为垂足 .∵AC，BD与⊙O相切，∴ AC⊥ OA， BD⊥ OB.∵AC∥ BD，∴∠ 1+∠ 2+∠3+∠ 4=180 .∵∠ COD=90，∴∠ 2+∠3=900，∠ 1+∠ 4=900.∵∠ 4+∠5=90 .∴Rt △ AOC∽ Rt △ BDO.0 AC∥ BD，若∠ COD=90.O∴AC OC.OB OD∵OA=OB，∴AC OC.OA OD又∵∠ CAO=∠COD=90，∴△ AOC∽△ ODC，∴∠ 1=∠2.又∵ OA⊥AC， OE⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙ O上.∴CD是⊙ O的切线 .证明二：连结 OA， OB，作 OE⊥ CD于 E，延长 DO交 CA延长线于 F.∵ AC，BD与⊙ O相切，∴AC⊥OA， BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠ F=∠ BDO.又∵ OA=OB，∴△ AOF≌△ BOD（ AAS）∴OF=OD.∵∠ COD=90，∴CF=CD，∠ 1=∠ 2.又∵ OA⊥ AC， OE⊥ CD，∴OE=OA.∴E点在⊙ O上.∴CD是⊙ O的切线 .证明三：连结 AO并延长，作OE⊥ CD于 E，取 CD中点 F，连结 OF.∵ AC与⊙ O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙ O相切于 B，∴ AO的延长线必经过点 B.∴AB是⊙ O的直径 .∵AC∥BD， OA=OB，CF=DF，∴ OF∥AC，∴∠ 1=∠ COF.∵∠ COD=90， CF=DF，∴ OF 1 CDCF. 2∴∠ 2=∠ COF.∴∠ 1=∠ 2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴ OE=OA.∴ E点在⊙ O上.∴ CD是⊙ O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠ 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠ 2. 证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、 B 三点共线 .此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010 中考题汇编：（ 2007 中考）22．( 本题8分 ) 如图，等腰三角形中，＝＝，＝12。

以为直径作⊙O交ABC AC BC 10AB BCAB于点 D，交 AC于点 G， DF⊥ AC，垂足为 F，交 CB的延长线于点E。

(1)求证：直线 EF是⊙ O的切线；(2)求 CF: CE的值。

AF DGE B OC(第 22题图)（ 2008 中考） 22．（本题8 分）如图， AB 是⊙ O的直径， AC是弦，∠ BAC的平分线 AD交⊙ O于点 D，DE⊥ AC，交 AC的延长线于点E，OE交 AD于点 F．⑴求证： DE是⊙ O的切线；⑵若AC3，求AF的值。

AB5DFECDFAOB（ 2009 中考） 22．（本题满分 8 分）如图，Rt △ ABC中，，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连ABC 90°接DE．C（ 1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF CF ，求 tan ACO 的值．D FEAOB（2010 中考） 22．如图，点 O在∠ APB的平分线上，⊙ O与 PA相切于点 C．(1)求证：直线 PB与⊙ O相切；(2)PO的延长线与⊙ O交于点E．若⊙ O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．。