山西省忻州市静乐县静乐一中2020届高三数学上学期期中试题 文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1)3(log |{2<+=x x A ,}24|{-<<-=x x B ,则=⋃B AA.}23|{-<<-x xB.}14|{-<<-x xC.}1|{-<x xD.}4|{->x x 2.“34=m ”是“直线024=-+-m my x 与圆422=+y x 相切”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在ABC ∆中,若A a B c C b sin cos cos =+,则角A 的值为 A.3π B.6π C.2π D.32π 4.已知定义域为]22,4[--a a 的奇函数)(x f 满足2sin 2020)(3++-=b x x x f , 则=+)()(b f a fA.0B.1C.2D.不能确定5.设m ,n 为空间两条不同的直线, α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β//m ,则βα⊥; ②若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//; ③若α//m ,α//n ,则n m //; ④若α⊥m ,β//n ,βα//,则n m ⊥. 其中所有正确命题的序号是 A.①②B.②③C.①③D.①④6.从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图1所示,若总体中85%的数据不超过b ,则b 的估计值为图1A.25B.24C.914 D.7037.设sin 2a =,0.3log b π=,0.54c =,则A.c a b <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a << 8.已知2cos()63πα-=,则2cos(2)3πα+= A.19- B.19C.45D.45-9.如图2,在区域224x y +≤内任取一点,则该点恰好取自阴影部分（阴影部分为“224x y +≤”与“()()2112x y -+-≤ ”在第一、第二象限的公共部分）的概率为 A.1122π- B.3184π- C.31+84π D.3810.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面0100米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了0100米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯210-米时,乌龟爬行的总距离为A.901104-B.9001104-C.901105-D.9001105-11.在ABC ∆中, 1=CA ,2=CB ,32π=∠ACB ,点M 满足CA CB CM 2+=,则=⋅MB MAA.0B.2C.32D.4图212.已知1F ,2F 分别为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第一象限内的点,延长2PF 交椭圆于点Q ,若PQ PF ⊥1,且PQ PF =1,则椭圆的离心率为 A.22-B.23-C.12-D.36-二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知向量)2,1(=a ρ,)2,2(-=b ρ,),1(λ=c ρ,若)2//(b a c ρρρ+,则=λ ．14.已知数列}{n a 满足11=a ,nn a a +-=+111,*∈N n ,则=2019a ． 15.设,a b R ∈,2234a b +=,则a 的最小值是 ． 16.已知函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤,e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点,则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.17.(本小题满分12分)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,522-=+S a ,155-=S . （1）求数列}{n a 的通项公式; （2）求13221111++++n n a a a a a a Λ. 18.(本小题满分12分)已知向量)sin ,cos 2(x x a =ρ,)cos 32,(cos x x b -=ρ,且1)(-⋅=b a x f ρρ.（1）求)(x f 的单调递增区间;（2）先将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的21倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数)(x g y =的图象，求方程 1)(=x g 在区间]2,0[π∈x 上所有根之和.19. (本小题满分12分)已知三棱锥ABC P -（如图3）的展开图如图4,其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形, ABE ∆和BCF ∆均为正三角形.图5(P )（1）证明:平面PAC ⊥平面ABC ; （2）若M 是PC 的中点,点N 在线段PA 上，且满足2PN NA =,求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值.图4 图520.(本小题满分12分)如图5,在ABC ∆中,角A ,B ,C的对边分別a ,b ,c ,43cos =A ,A B 2=,3=b . （1）求a ;（2）如图5，点M 在边BC 上,且AM 平分BAC ∠,求ABM ∆的面积.21.(本小题满分12分)已知函数)ln 1()(x x x f +=, )1()(-=x k x g )(Z k ∈. （1）求函数)(x f 的极值;（2）对任意的),1(+∞∈x ,不等式)()(x g x f >都成立,求整数k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222)1()3(r y x =-+-（0>r ）,以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,且直线l 与圆C 相切.C（1）求实数r 的值;（2）在圆C 上取两点M ,N ,使得6π=∠MON ,点M ,N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆,求OMN ∆面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数112)(-+-=x a x x f .（1）当2=a 时,b x f ≤)(有解,求实数b 的取值范围; （2）若2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[,求实数a 的取值范围.期中考试数学答案（文）一、 选择题：二、填空题： 13. 52- 14. 2- 15.- 16. 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦三、解答题：17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差设为d ,Θ522-=+S a ,155-=S ,∴5231-=+d a ,151051-=+d a ,解得11-==d a . ………………4分∴n n a n -=---=)1(1,*∈N n . ………………6分（2）111)1(111+-=+=+n n n n a a n n Θ………………8分13221111++++∴n n a a a a a a Λ )1(1321211+⨯++⨯+⨯=n n Λ 1113121211+-++-+-=n n Λ 1n+=n …………………12分 18.解:（1）函数1cos sin 32cos 2)(2-⋅-=x x x x f)62sin(2π--=x …………………4分令πππππk x k 2236222+≤-≤+,Z k ∈ 即ππππk x k +≤≤+653,Z k ∈, ∴函数的单调增区间为]65,3[ππππk k ++,Z k ∈. …………6分（2）由题意知)62sin(4x 6)12(4sin 2)(πππ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=x x g , ………8分 由1)(=x g ,得21)6sin(4x -=+π,Θ]2,0[π∈x ,∴]613,6[64x πππ∈+ ∴6764x ππ=+或61164x ππ=+, ∴4x π=或125x π=,故所有根之和为321254πππ=+. ………………12分 19.解:（1）证明:如图取AC 的中点O ,连结BO PO .Θ 2===PC PB PA ,∴1=PO ,1===CO BO AO , Θ在PAC ∆中,PC PA =,O 为AC 的中点, ∴AC PO ⊥.Θ在POB ∆中,1=PO , 1=OB ,2=PB , ∴222PB OB PO =+,∴OB PO ⊥.ΘO OB AC =⋂,AC ,OB ⊂平面ABC ,∴⊥PO 平面ABC ,Θ⊂PO 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ． ……………5分（2）解: Θ M PC 为中点∴点M 到平面PAB 的距离为点C 到平面PAB 距离的一半.假设C 到平面PAB 距离为d ,则1133112C PAB P ABCPAB ABC V V S d S PO d d --=∴⋅=⋅⨯=⨯∴=V V∴M 到平面PAB的距离为=3d ' ………………9分Rt MPN∆中,6MN==………………10分设θ为直线MN与平面PAB所成角，则sin=5dMNθ'==………………12分20.解:(1)由正弦定理知BbAasinsin=，∴AAa2sin3sin=,∴24323cos23=⨯==Aa. ………………………4分（2）Θ43cos=A,∴47sin=A,∴811cos22coscos2=-==AAB,∴873sin=B,∴1675sincoscossin)sin(sin=+=+=BABABAC, …………7分由正弦定理知AaCcsinsin=,∴25sinsin==ACac…………9分ΘAM平分BAC∠,∴56===cbABACBMCM,∴11102115115=⨯==BCBM, …………11分∴17677587325111021sin21=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=∆BABBMSABM. ……12分21.解:（1）Θ)ln1()(xxxf+=,0>x,∴xxf ln2)(+=', …………1分当21ex<<时,0)(<'xf,当21ex>时, 0)(>'xf, …………3分∴当21ex=时, )(xf取得极小值，极小值为22221)1ln1(1)1(eeeef-=+=,)(xf无极大值．………………………5分（2）Θ对任意的),1(+∞∈x,不等式)()(xgxf>都成立,C∴)1()ln 1(->+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，即0)1()ln 1(>--+x k x x 在),1(+∞∈x 上恒成立，令)1()ln 1()(--+=x k x x x h , 1>x ∴x k x h ln 2)(+-=', ………6分 ①当02≥-k 时,即2≤k 时, 0)(>'x h 在),1(+∞∈x 上恒成立，∴)(x h 在),1(+∞上单调递增，∴1)1()(=>h x h∴2≤k 都符合题意,此时整数k 的最大值为2. ……………8分②当2>k 时,令0)(='x h ,解得2-=k e x ,∴当21-<<k e x 时, 0)(<'x h ,当2->k e x 时, 0)(>'x h ,k e e h x h k k +-==--22min )()(,则02>+--k e k , ……………10分令k ek p k +-=-2)(∴1)(2+-='-k e k p ,)2(>k ,Θ0)(<'k p 在),2(+∞∈k 上恒成立, ∴k e k p k +-=-2)(在),2(+∞上单调递减，又04)4(2<+-=e p ,03)3(>+-=e p ,∴存在)4,3(0∈k 使得0)(0=k p ,故此时整数k 的最大值为3.综上所述: 整数k 的最大值为3. …………………12分22.解:（1）直线l 的极坐标方程为1)3sin(=-πθρ,转化为直角坐标方程为023=+-y x . ………………2分Θ直线l 与圆C 相切, ∴圆心)1,3(到直线023=+-y x 的距离d 满足r d =++-⨯=132133，解得2=r . …………………4分（2）由（1）得圆的方程为4)1()3(22=-+-y x .转化为极坐标方程为)3sin(4πθρ+=．设),(1θρM ,)6,(2πθρ+N , … 5分6sin 2121πρρ=∆MON S )2sin()3sin(4πθπθ++=3)32sin(2++=πθ …………8分故当12πθ=时, OMN ∆的面积取到最大值为32+. …………10分23.解:（1）当2=a 时,1221222121212)(=---≥-+-=-+-=）（）（x x x x x x x f当且仅当0)22(12(≤--x x ）, 即121≤≤x 时取等号, …………2分 ∴1)(min =x f ,Θb x f ≤)(有解, ∴只需1)(min =≥x f b ,∴实数b 的取值范围为),1[+∞. ……………………4分（2）当]2,21[∈x 时, 012≥-x ,02≤-x ,Θ2)(-≥x x f 的解集包含]2,21[∴x x a 331-≥-对]2,21[∈x 恒成立, ……………7分当1=x 时, R a ∈, 当121<≤x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3≥a ,当21≤<x 时, x x a 33)1(-≥-, 即3-≥a , ……………9分 综上所述: 实数a 的取值范围为),3[+∞. ……………10分。