《概率论》第二章 练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。

⎰==≤412021)21(xdx X P649)43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他 且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+→⎰⎰解之31)(011)(01dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD []32161622=-=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：4723=-=b a ，6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。

8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。

2100x x≥100 ∴ ϕ(x)=0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________，P ＝_________________。

EX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝95，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。

解：11. 随机变量X ～N （2， σ2），且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿%2.808165811614014==-=-=q p C o )0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94)1(95)1(2==⇒=∴===〈⇒=≥p q q X p X p X p2.08.01)2(1)2(2008.05.03.0)2(,3.0)0()2(3.0222424420000000=-=Φ-=-Φ=-Φ=<=+=Φ=Φ-Φ=-Φ--Φ=<-<=<<σσσσσσσ）（）（再代入从而即：）（）（）（）（）（X P X P X P X P12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望)(2Xe X E -+=___4/3________ 3431110222=+=⋅+=+=+⎰+∞----dx e e Ee EX eX E x x X X）（ 13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________.02!2!122=-⇒=--λλλλλλe e∴)0(2舍==λλ15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：=)(x φ⎩⎨⎧<≥-,00,005.005.0x x e x；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.0727.02.0)10()15()10/15(===>>=>>ξξξξP P P17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=0.168031解：算：利用泊松定理作近似计,99.0*01.0*4300)4()01.0,300(~2964⎪⎪⎭⎫⎝⎛==X P b X 一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为np =λ ，方差为 np =λ19．618.0)3(,045.0)5(),,(~2=≤=-<X P X P N X σμ，则μ＝＿1.8＿＿＿＿，σ＝＿＿4＿＿＿＿。

（将X 标准化后查标准正态分布表） 二、单项选择：1．设随机变量X 的密度函数为： 4x 3, 0<x<10 其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) （其中0<a<1） A ．421 B ．42C ．21 D ．1－421 解：根据密度函数的非负可积性得到：⎰⎰=∞+=>dx x adx x f a a x P 341)()( ⎰⎰⎰⎰===∞-=<4313321:4,4,,4)()(a dx x dx x o a dx x o a dx x f a a x P a 解之得联立2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=53, b =－52 B ．a=32, b=32C ．a=－21, b=23D ．a=21, b=－23F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a适合52,53-==∴b a3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ） A 、A=21 B=π B 、A=21 B=π1 C 、 A=π B=21 D 、A=π1B=21 解：要熟悉arctgx 的图像联立求解即可。

;20),()(;21),()(ππ⨯-=∴-∞+=-∞⨯+=∴+∞+=+∞B A Barctg A F B A Barctg A F4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为0.6，又已知E （X ）＝1.4，D （X ）＝0.24，则X 的分布律为 （ ）f(x) =A. x 0 1B. x 1 2 p 0.6 0.4 p 0.6 0.4C. x n n +1D. x a b p 0.6 0.4 p 0.6 0.4① 1.4=EX=0.6X 1+0.4X 2② DX=EX 2-(EX)2222214.1)4.0*6.0*(24.0-+=x x联系①、②解得X 1=1，X 2=25．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为 （ ） A ．6元 B ．12元 C ．7.8元 D ．9元 设ξ表示得奖金额，则其分布律为：ξ 6 （3张2元的） 9 （2张2元，1张5元的） 12（1张2元，2张5元的）P 31038c c 3101228c c c 3102218c cc故期望值为： 7.86. 随机变量X 的概率分布是： X 1 2 3 4 P61 a 41b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122 C 、a=121, b=125 D 、a=41, b=31D b a 故选）（⇒=+-=+127416117. 下列可作为密度函数的是：（ B ）A 、=)(x ϕ 0112x + 0≤>x xB 、=)(x ϕ 0)(a x e -- 其它a x >C 、=)(x ϕ 0sin x其它],0[π∈xD 、=)(x ϕ 03x 其它11<<-x依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。

A 、)()(x F x P =+∞= B 、1)(0≤≤x ϕ C 、P )()(x x ϕ=+∞= D 、P )()(x F x ≥+∞<9. 如果)(~x x ϕ，而=)(x ϕ 02x x - 其它2110≤<≤≤x x ，则P （x 5.1≤）=（ C ）A 、⎰-5.10)2(dx x B 、⎰-5.10)2(dx x x C 、0.875 D 、⎰∞--5.1)2(dx x875.08725.111==-+⎰⎰dx x xdx ）（ 10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。

（ B ） A ．[0，π] B ．[0.5π, π] C ．[0, 1.5π] D ．[π, 1.5π]依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个数，则E(X)为＿＿＿＿。

（ D ） A ．0.75B ．0.2375C ．0.487D ．0.25此题X 服从二项分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.2512. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（ D ）A ．K ＝（n ＋1）PB ．K ＝（n ＋1）P －iC ．K ＝nPD ．K ＝[（n ＋1）P ]解：根据二项分布的正态近似知，当X 接近于EX=np 时取到最大值，由于（n ＋1）P 不是整数，因此需要寻找最接近np 的整数。