第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 (分类计数)加法原理:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N +++=ΛΛ21种不同的方法;2、 (分步计数)分步乘法原理:完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N ⨯⨯⨯=ΛΛ21种不同的方法;3、 区分做事情的方法就是“分类”还就是“分步”主要瞧能否一步做完,能够一步做完的就就是分类(用加法原理),不能一步做完的,就就是分步(用乘法原理);二、排列与组合1、 排列数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示,且:2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,记作:!n ,且:3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()nm m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数,用符号n mC 表示,且:组合数公式也可写为: 4、 组合数的两个性质:()()n m n m n n m n m n n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关;组合与顺序无关。

三、概率1、 基本概念（1） 随机现象:在相同的条件下,具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行;试验的所有可能结果就是可以明确知道的,并且这些可能结果不止一个;每次试验之前不能准确预言哪一个结果会()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121Λ()()10,1221!=⋅--=！规定：Λn n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定：ΛΛ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A n m -=为：易知排列数公式也可写发生;（3） 随机事件:随机试验的结果叫做随机事件,简称事件,常用大写字母A 、B 、C 表示; （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件,用Ω表示(Ω读作“omiga ”, Ω对应的小写希腊字母就是“ω”); （5） 不可能事件:在一次随机试验中不可能发生的事件,用φ表示(φ读作“fai ”); （6） 基本事件:随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即:最简单的随机事件; （7） 复合事件:由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率（1） 频数:在n 次重复试验中,事件A 发生了m 次()n m ≤≤0,m 叫做事件A 发生的频数;（2） 频率:在n 次重复试验中,事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm,叫做事件A 发生的频率; 3、 概率（1） 一般地,当试验的次数充分大时,如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近,那么就把这个常数叫做事件发生的概率,记作:; （2） 概率的性质:i. 对于必然事件Ω:()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ:()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型:如果一个随机试验的基本事件只有有限个,并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型;（2） 概率:设试验共有n 个基本事件,并且每一个基本事件发生的可能性都相同,事件A 包含m 个基本事件,那么事件发生的概率为:（3） 事件的“交”:“B A I ”表示B A 、同时发生,记作:AB ; （4） 事件的“并”:“B A Y ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的与事件;（5） 事件的“否”:A 表示事件A 的对立事件;(A 读作a bar,“A 拔”)（6） 互为对立的事件:若事件A 就是事件B 的对立面,且Ω==B A B A Y I ,φ;(对立事件的理解:在任何一次随机试验中,事件A 与B 有且仅有一个发生)（7） 互斥事件(互不相容事件):不可能同时发生的两个事件,即:φ=B A I ;(对立事件就是互斥事件,但互斥事件不一定就是对立事件)（8） 相互独立事件:在随机试验中,如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小,即在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率,那么()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件称事件A 与事件B 相互独立;(事件A 发生与否,不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 就是互斥事件,则:()()()B P A P B A P +=Y（10） 若A 、B 就是对立事件,则:()()B P A P +=1,即:()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不就是互斥事件,则:()()()()B A P B P A P B A P I Y -+= （12） 若A 、B 就是相互独立事件,则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==I四、总体、样本与抽样方法例1:为了了解全校1120名一年级学生的身高情况,从中抽取100名学生进行测量;1、 总体:在统计中,所研究对象的全体;例1中“全校1120名一年级学生的身高”就是总体;2、 个体:组成总体的每一个对象;例1中“全校每一位一年级学生的身高”就是个体;3、 样本:被抽取出来的个体的集合;例1中“抽取的100名一年级学生的身高”就是样本;4、 样本容量:样本所含个体的数目;例1中“100”就是样本容量;5、 抽样的方法有三种:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样;6、 说明:当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样;当总体中的个数比较多,且其分布没有明显的不均匀情况,常采用系统抽样;当总体由差异明显的几个部分组成时,常采用分层抽样;五、用样本估计总体1、 样本均值:()n x x x nx +++=Λ2112、 样本方差:()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=Λ3、 样本标准差:()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=Λ 4、 说明:均值反映了样本与总体的平均水平;方差与标准差则反映了样本与总体的波动大小程度;5、 作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距;②然后以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的频率/组距;这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好就是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。

注:频数就是指各组内数据的个数;每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率; 例:作出表格1中数据的频率分布直方图(本例题引用来自百度搜索)表格 1[156、5, 159、5) 8 0、08 0、026 [159、5, 162、5) 11 0、11 0、036 [162、5, 165、5) 22 0、22 0、073 [165、5, 168、5) 19 0、19 0、063 [168、5, 171、5) 14 0、14 0、046 [171、5, 174、5) 7 0、07 0、023 [174、5, 177、5) 4 0、04 0、013 [177、5, 180、5)3 0、03 0、01合 计1001六、章节习题§9、1 计数原理(1) 某人到S 城出差,在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房,其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房,乙旅社剩下9间单人房、2间双人房,则现在住宿有 种不同的选择; (2) 一家人到S 城旅游,入住旅社的空房只剩下12间单人房与8间双人房,现需要订一间单人房与一间双人房,有 种不同的选择; (3) 4封不同的信,要投到3个不同的信箱中,共有种不同的投递的方法;(4) 4封不同的信,要投到3个不同的信箱中,并且每个信箱中至少有一封信,不同的投递方法共有 种; (5) 3封不同的信,要投到4个不同的信箱中,共有种不同的投递的方法;(6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读,不同的选法有 种; (7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书与一本科技书回家阅读,不同的选法有 种; (8) 由1,2,3,4,5五个数字组成的三位数,共有个; (9) 由1,2,3,4,5五个数字组成没有重复数字的三位数,共有个;§9、2 排列组合(10) 7人站成一排,一共有种不同的排法;如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,我们称这条折线为本组数据的频率折线图(11) 7人中选出3人排成一排,一共有种不同的排法;(12) 7人中选出3人组成一组,代表班级参加辩论比赛,一共有种不同的选法;(13) 5人站成一排,若甲必须站在第一位,一共有种不同的排法; (14) 8人排成一排,其中A 、B 两人必须排在一起,一共有种不同的排法;(15) 8人排成一排,其中A 、B 、C 三人不在排头并且要互相隔开,一共有种不同的排法; (16) 10件产品中有3件次品,从中任取2件,至少有一件次品的取法共有 种; (17) 10件产品中有3件次品,从中任取2件,至多有一件次品的取法共有种;(18) 集合{}8,7,6,5,4,3,2,1,每次取五个元素,按由小到大顺序排列,共有 种不同的排列(取法);(19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛,一共需要举行场比赛;(20) 学生要从六门课中选学两门:①如果有两门课时间冲突,不能同时学,有 种选法;②如果有两门特别的课,至少选学其中的一门,有 种选法; (21) 一个口袋内有6个小球,另一个口袋内有5个小球,所有这些小球的颜色互不相同,现从两个口袋各取出一个小球,有 种不同的取法; §9、3 概率(22) Ω表示必然事件,()=ΩP;φ表示不可能事件,()=φP;(23) 一道选择题共有4个答案,其中只有一个就是正确的,有位同学随意的选了一个答案,那么它选对的概率就是 ; (24) 掷一颗骰子,第一次得到6点,那么她第二次掷这颗骰子得到6点的概率( )A 、 大于61 B 、 等于61C 、 等于21 D 、 等于361(25) 甲掷两次骰子,每次掷一颗骰子,两次都得到6点的概率为( )A 、 大于61 B 、 等于61C 、 等于21 D 、 等于361(26) 在10件产品中有2件次品,从中任取2件都就是合格品的概率就是(27) 有一批蚕豆种子,如果每一粒种子发芽的概率均为8.0,那么播下3粒种子恰好3粒种子都发芽的概率就是 ( )A 、8.08.08.0++ B 、38.0C 、 8.0D 、 5.0(28) 抛掷一骰子,观察出现的点数,设事件A 为“出现1点”,事件B 为“出现2点”,已知()()61==B P A P ,则事件“出现1点或2点”的概率为(29) 做某个随机试验,所有的基本事件构成的集合可用{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω表示,设事件{}5,3,1=A ,事件{}7,6,5,4=B ,则()=A P ,()=B P ,()=B A P Y,()=A P,()=ΩP ,()=B A P I(30) 有一个问题,在半小时内,甲能解决它的概率就是21,乙能解决它的概率就是31,如果两人试图独立在半小时内解决它,①两人都未解决的概率就是;②问题得到解决的概率就是(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击,她们击中靶心的概率分别就是:甲为5.0,乙为7.0,丙为6.0,求三人同时各射击一次,没人击中靶心的概率就是多少？ (32) 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0、21、0、23、0、25、0、28,则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率就是: §9、4 总体、样本与抽样方法 (33) 在统计中,所研究对象的全体叫做 ,组成总体的每个对象叫做 ,被抽取出来的个体的集合叫做,样本所含个体的数目叫做(34) 为了了解所购买的一批商品的质量,抽测了其中225个商品,在这个问题中,225个商品的质量就是( ) A 、个体 B 、总体 C 、样本 D 、样本容量 (35) 要了解某种电子产品的质量,从中抽取450个产品进行检验,在这个问题中,450叫做( ) A 、个体 B 、总体 C 、样本 D 、样本容量 (36) 为了了解全年级523名同学的视力情况,从中抽取90名同学进行测量,在这个问题中,总体就是指 ,个体就是指 ,样本就是指 ;样本容量就是(37) 要完成以下两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标;②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况;应采用的抽样方法就是:A 、 ①用随机抽样法,②用系统抽样法B 、 ①用系统抽样法,②用分层抽样法C 、 ①用分层抽样法,②用随机抽样法D 、 ①用分层抽样法,②用系统抽样法 (38) 无论就是简单随机抽样还就是系统抽样,抽样过程中每个个体被抽取的相等; (39) 抽签法、随机数法都就是抽样;(40) 当总体的个体数目较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每个部分抽取一定数目的样本,得到所需要的样本,这种抽样叫做 (41) 当总体由差异明显的几个部分组成时,一般采用 抽样; (42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人与1300人,现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了75人,则这次调查中,高二年级共抽查了 人,三个年级全部抽查了 人; §9、5 用样本估计总体(43) 数据90、87、91、92、90的平均值就是 ,方差就是 ,标准差就是(44) 在频率分布直方图中,小矩形的面积表示(45) 画频率分布直方图,根据频率分布表,在直角坐标系中横坐标表示数据的取值,纵坐标表示 (46) 在对n 个数据进行整理的频率分布表中,各组的频数之与与频率之与分别等于( )A 、 n ,nB 、 n ,1C 、 n ,100D 、 1 ,1(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本,测得甲样本的数据为:10、9、5、8、7、15,乙样本的数据为:9,7,8,12,14,4,计算甲、乙样本的均值与样本方差,说明哪一个样本的数据波动更小一些。