解 质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
－ s2＋Δt－s2 v＝
Δt
[2＋Δt2＋1]－22＋1 ＝
Δt
4Δt＋Δt2
＝
＝4＋Δt.
Δt
－ 又 v ≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0， ∴Δt 的取值范围为(0,1].
§ 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些 实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数． 3．掌握函数 f(x)在某一点 x0 处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简 单函数在某一点 x0 处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为 S＝S(t)，如果一个物体在时刻 t0 时位于 S(t0)，在时 刻 t0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置 增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v＝ St0＋Δt－St0
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在 t＝1 到 t＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为
Δs Δt2＋4Δt
＝
＝4＋Δt.
Δt
Δt
变式训练 3 一质点作匀速直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)＝t2＋1， 该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于 5，求Δt 的取值范围．
3
32
率．
题型三 平均变化率的应用 例 3 已知一物体的运动方程为 s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在 t＝1 到 t＝1＋
Δt 这段时间内的平均速度．
3
Δs 分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→
Δt 解 物体在 t＝1 到 t＝1＋Δt 这段时间内的位移增量
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝.
2
π
π
－0
2
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝ x2－x1≠0.
1
典例剖析
题型一 求函数的平均变化率
例 1 一物体做直线运动，其路程与时间 t 的关系是 S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求 t＝0 到 t＝1 的平均速度．
分析 t＝0 时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)
答
1.fxx22－ －fx1x1
案
2.fx0＋ΔΔxx－fx0
名师讲解
1.如何理解Δx，Δy 的含义
Δx 表示自变量 x 的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f(x2)－f(x1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数 y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．
(1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.
课前热身 Δy
1.函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为Δx＝________. Δy
2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则Δx＝________，表示函 数 y＝f(x)从 x0 到 x 的平均变化率.
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
Δy －Δx2＋3Δx
∴＝
＝－Δx＋3
Δx
Δx
答案 D
题型二 平均变化率的快慢比较
π
ππ
例 2 求正弦函数 y＝sinx 在 0 到 之间及 到 之间的平均变化率．并比
6
32
较大小．
分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
Δy fx2－fx1
(3)得平均变化率 ＝
.
Δx
x2－x1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越
小，表现得越精确．如函数 y＝sinx 在区间[0，π]上的平均变化率为 0，而在[0，
π
sin －sin0
π
2
2
]上的平均变化0
到 之间的平均变化率是 3
k1，则
k1＝
π
＝－
－0
3
3 .
2π
ππ
函数
y＝cosx
在 到 之间的平均变化率是 32
k2，
ππ
cos －cos
2
33
则 k2＝
ππ
＝－ . π
－
23
3
33
∵k1－k2＝－2π－(－π)＝2π>0，
∴k1>k2.
π
ππ
∴函数 y＝cosx 在 0 到 之间的平均变化率大于在 到 之间的平均变化
ΔS －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商 就可以得到平均速度．
Δt
S 3t－t2
解 (1)由于 v＝ ＝
＝3－t.
tt
∴当 t＝0 时，v0＝3，即为初速度． (2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2
Δt＝1－0＝1
ΔS 2 ∴v＝ ＝ ＝2.
Δt 1
∴从 t＝0 到 t＝1 的平均速度为 2.
误区警示 本题1不要认为 t＝0 时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练 1 已知函数 f(x)＝－x2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点
Δy (－1＋Δx，－2＋Δy)，则 ＝( )
Δx
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
解析 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
π
＝
π
>0，
∴k1>k2.
π
3 ππ
答：函数 y＝sinx 在 0 到 之间的平均变化率为 ，在 到 之间的平均变
6
π 32
32－ 3 3 32－ 3
化率为
，且 >
.
π
π
π
π
ππ
变式训练 2 试比较余弦函数 y＝cosx 在 0 到 之间和 到 之间的平均变
3
32
化率的大小．
π
cos －cos0
π
3
. Δt 当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻 t0 的速度．Δt
越小，v就越接近于时刻
t0
的速度，当Δt→0
时，这个平均速度的极限
v＝ lim Δt→0
ΔS
St0＋Δt－St0
＝ lim Δt Δt→0
Δt
就是物体在时刻 t0 的速度即为________．
π 解 设 y＝sinx 在 0 到 6 之间的变化率为 k1，则
2
π
sin －sin0
6
3
k1＝ π
＝. π
－0
6
ππ y＝sinx 在 3 到 2 之间的平均变化率为 k2，
ππ
3
sin －sin 1－
2
3
2 32－ 3
则 k2＝
ππ
＝
＝
π
π
.
－
23
6
3 32－ 3 3 3－1
∵k1－k2＝π－