P.6-29
範例 3 求定積分
求定積分 1(4t 1)2 dt，並畫出此積分所代表面 0 積的區域。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 3 求定積分 （解）
1 (4t
1)2
dt

1
1(4t 1)2 dt
同時乘除以4
0
40

1 4
(4t
1)3 3
1
0
求反導數

1 4
53 3 Nhomakorabea
1 3

應用微積分基本定理
31
化簡
3
此區域的圖形如圖 6.10 所示。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 3 求定積分 （解）
第六章 積分與其應用
P.6-29 圖6.10
檢查站 3
求 1(2t 3)3 dt。 0
範例 1 求定積分值 （解）
第六章 積分與其應用
P.6-26 圖6.6
檢查站 1
3
以幾何的面積公式來求定積分 0 4xdx，並以簡圖
來驗證答案。
第六章 積分與其應用
P.6-26
微積分基本定理
函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 Δx，則面積的 增加量為 ΔA，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉 區間 [x, x ＋ Δx] 的極小值與極大值。
第六章 積分與其應用
P.6-29 圖6.9
檢查站 2
求 x 軸與函數圖形f(x) ＝ x2 ＋ 1，2 ≤ x ≤ 3所圍 成區域的面積。
第六章 積分與其應用
P.6-29
學習提示
在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議 將反導數的積分上下限標示在不同的括號中， 如上例所示。
第六章 積分與其應用
則是一個數。
b
a f (x)dx
第六章 積分與其應用
P.6-28
範例 2 以微積分基本定理求面積
求 x 軸與函數圖形 f(x) ＝ x2 － 1，1 ≤ x ≤ 2 所圍 成區域的面積。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
如圖 6.9 所示，在區間 1 ≤ x ≤ 2，f(x) ≥ 0。故可 用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基
6.4 面積與微積分基本定理
6.4 面積與微積分基本定理
學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
在幾何學中，面積為定義某個閉區間尺寸的數 字，簡單的形狀，像是矩形、三角形和圓形， 都有面積公式。
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積 ，如圖 6.5 中區域R 的面積
第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
第六章 積分與其應用
P.6-26 圖6.5
範例 1 求定積分值
2
求定積分 2xdx。 0
第六章 積分與其應用
P.6-26
本定理即可求得此面積。
面積 2 (x2 1)dx 1
x3 2

3
x 1
定積分的定義 求反導數


23 3

2


13

3
1

應用微積分基本定理
4
化簡
3

所以，該區域的面積為
4 3
平方單位。
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
範例 1 求定積分值 （解）
此定積分代表圖形 f(x) ＝ 2x、x 軸與直線 x ＝ 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形 狀為三角形，高為 4 且底為 2。
2 2xdx 1 (底)(高)
0
2
1 (2)(4) 4 2
三角形的面積公式 化簡
第六章 積分與其應用
P.6-26
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
依圖 6.8，可建立下列的不等式。
f (m)x A f (M )x
參見圖6.8
f (m)x A f (M )x x
lim f (m) lim A lim f (M )
x0
x0 x x0
f (x) A(x) f (x)
b
a f (x)dx F (b) F (a)
其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定 代表面積，它可以是負數、零或正數。
第六章 積分與其應用
P.6-28
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-28
學習提示
請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積 分
f (x)dx
表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然 而定積分
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 4 求定積分
求下列定積分。
a. 3 e2xdt 0
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-27
學習提示
微積分基本定理的介紹有兩種方式：一種以面 積函數，如上所示； 另一種則利用加總的程序 ，參見附錄。
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-28
微積分基本定理
在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區 間 [a, b] 為非負值，則定積分就是面積。如今， 這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 [a, b] 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為 在閉區間 [a, b] 的任一連續函數，則從 a 到 b 的 定積分可記為
(x) = F (x)－F (a)，即
b
A(b) a f (x)dx f (b) F (a)
由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即
可利用該反導數來計算定積分
b
a
f
(x)dx，此結果
稱為微積分基本定理 (Fundamental Theorem of
Calculus)。
第六章 積分與其應用
每項除以x 每項取極限 A( x)導數的定義
第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
第六章 積分與其應用
P.6-27 圖6.8
微積分基本定理
故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C =－ F (a)，所以 A