22— 13已知F 1 (— 3, 0)、F 2 (3,0)是椭圆 —+^ = 1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当/ F PR =2n时，△ F i PF 2的面积最大，则有(=12, n=3=6, n= —2为双曲线C 上一点， 垂线，设垂足为 QF i 、F 2是双曲线 则Q 点的轨迹是 A.直线三、解答题15.(满分10分)如下图，过抛物线B.圆=24 , n=6 =12 , n=6C 的两个焦点，过双曲线()12.C 的一个焦点F i 作/ F i PF 2的平分线的C.椭圆D.双曲线 y 2=2px (p > 0)上一定点P (x o , y o )—1. F 1、F 2是椭圆y 2 1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则I PF 1 I I PF 2 I 的最大值是42 .若直线mxmy — 3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，贝U m n 满足的关系式为 ________________2 2以(m n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆 —+^ =1的公共点有 __________________73是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3) 2+y 2=1的动点，则丨PQI 的最小值为 .1x 有两个公共点。
则实数a 的范围为28. 双曲线X 2— y 2= 1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是 ____________ .9. ______________________ 已知A ( 0, 7)、B ( 0, — 7 )、C (12, 2),以C 为一个焦点作过 A 、B的椭圆，椭圆的另一个焦 点F 的轨迹方程是 .110. 设P 1( 72, 4—)、R (― V 2,— V —), M 是双曲线y =」上位于第一象限的点，对于命题①x IMP — | MP=2，—:②以线段 MP 为直径的圆与圆 x 2+y 2=2相切；③存在常数 b ,使得M 到直线y=—x+b 的距离等于 —|MP.其中所有正确命题的序号是 ___________________ .—11.到两定点 A (0, 0) , B (3, 4)距离之和为5的点的轨迹是()A.椭圆 所在直线C.线段ABD.无轨迹12 .若点(x , y )在椭圆4x 2+y 2=4上，则—的最小值为()x —B. — 1C. — — -.；334.若圆x 22ax a 21 0与抛物线y 25 .若曲线■. x 2 4与直线y k(x 2)+3 有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 _____ ・6.圆心在直线 2x — y — 7=0上的圆 C 与y 轴交于两点 A (0，- 4)、B (0, - 2),则圆C 的方程为7.经过两圆(x+3) 2+y 2=13 和 x+2(y+3) 2=37的交点，且圆心在直线x — y — 4=0上的圆的方程为D.以上都不对(y o > 0),作两条直线分别交抛物线于 A (x i , y i )、B( X 2, y 2).(1 )求该抛物线上纵坐标为 —的点到其焦点F 的距离；2(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求匕一y!的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数y o16.(满分10分)如下图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是 a 和b( a>0, b z 0),2 __________ _ _ ,且交抛物线y =2px ( p>0) 于 M (x i , y i ), N (X 2, y 2)两点.111(1)证明： 一 + 一 =一 ; (2)当 a=2p 时，求/ MON 的大小.|1、|2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使I 丄|1,又I 与12交于P 点，设I 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B.(如下图)17.(满分10分) 2 2已知椭圆C 的方程为 二+与=1 a 2b 2(a>b>0),双曲线x 22爲=1的两条渐近线为b 2(1)当11与丨2夹角为60°,双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程;(2)当FA=X AP时，求入的最大值.满足AO BO (如上图).(I)求 AOB 得重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(n) AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.20.(满分12分)设A B 是椭圆3x 2 y 2上的两点，点 N( 1, 3)是线段AB 的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C 、D 两点•(I)确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；(H)试判断是否存在这样的，使得A B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由 •解析几何综合题2X 21. F i 、F 2是椭圆—y 1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF i | IPF 2I 的最大值是 ___________________1答案：4简解： |PF 1 | | PF 2 |< (|PF 1,2|PF 2')2 a 2 42.若直线mxrny — 3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则 m n 满足的关系式为 __________________ ;以(口 n )2 2为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆 —+^=1的公共点有 _____________________ 个.732 答案：0<吊+n 2<3 ; 222简解：将直线 mxrny — 3=0变形代入圆方程 x +y =3,消去x ，得2 2 2 2(m+n ) y — 6ny+9— 3m=0. 令 A <0 得 m+n 2<3.219.(满分12分)抛物线y =4px ( p>0)的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于 A B 两点•(1) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于N(X o , 0),求证：X o >3p ；10分)在平面直角坐标系2X 上异于坐标原点O 的两不同动点A 、E2, …，当0<p<1时，求的值.小小2| |22| IN 10N 11 |18.(满分 yxOy 中，抛物线yx又m n不同时为零，2 2••• 0<m+n <3.由0<m+n2<3，可知| n|< J3 , | m< J3 ,再由椭圆方程a=.、7 , b==3可知公共点有2个.2 2 2是抛物线y =x上的动点，Q是圆(x-3) +y =1的动点，则丨PQI的最小值为3•答案：』-12简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值八、. 2 2 2 2 14 .若圆x y 2ax a 1 0与抛物线y x有两个公共点。
则实数a为2 (17)4.答案：a 或1 a 181简解：将圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2x联立，消去y ,21得x2(2a )x a2 1 0 (x 0).2要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
1 02a 0或2解之2 a2 1 0.a2 1 0.5 •若曲线y .X2 4与直线y k(x 2) +3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是____ .5•答案：1 k简解：将曲线y. X~4转化为x 2 y 2 4时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x 平行的直线与双曲线的位置关系。
6.圆心在直线 2x — y — 7=0上的圆C 与y 轴交于两点 A (0, - 4)、B (0, - 2),则圆C 的方程为 6 .答案：(x — 2) 2+ ( y+3) 2=5 5 .简解：•••圆 C 与 y 轴交于 A (0, — 4) , B (0,— 2),•••由垂径定理得圆心在 y= — 3这条直线上• 又已知圆心在直线 2x — y — 7=0上,•圆心为(2, — 3), 半径 r=|AC|= . 22 [ 3 ( 4)]2 =、5. •所求圆C 的方程为(x — 2) 2+ ( y+3) 2=5.7.经过两圆(x+3) 2+y 2=13和x 2+ (y+3) 2=37的交点，且圆心在直线 x — y — 4=0上的圆的方程为1 、2 7 2 897.答案：(x+ ) + (y+ )=—2 2 2简解：因为所求的圆经过两圆(x+3) 2+y 2=13和x+2 (y+3) 2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3) 2+y 2— 13+入]x 2+ (y+3) 2— 37] =0. 展开、配方、整理，得(x+丄)2+ (y+丄)2=4 28+91? •1 1 1 (1 )33圆心为(一，一)，代入方程 x — y — 4=0,得入=—7.1 1故所求圆的方程为(x+丄)2+ (y+- ) 2= 89.2 2 28. 双曲线x2 — y2 = 1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是 ____________ . & 答案：(—30 )U( 1 , +s)简解：解析：数形结合法，与渐近线斜率比较9. ______________________ 已知A ( 0, 7)、B ( 0, — 7)、C (12, 2)，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦 点F 的轨迹方程是 .2x9.答案：.y 2—= 1 (y w — 1)48简解：由题意丨AC|= 13,| BC|= 15,I AB |= 14,又 | AF | + | AC| = | BF | + | BC|,• | AF | — | BF | = | BC| — | AC|= 2.•联立 y= — 3,2x — y — 7=0. 解得x=2,故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7, a=1, b2= 48，所以轨迹方程为2 X 2 y - = 1 (y w—1).4810•设P l(42，罷)、P2 (—J2 , —42 ), M是双曲线yj上位于第一象限的点，对于命题①x| MP —| MP=2、. 2 :②以线段MP为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数b,使得M到直线y= —x+b的距离等于^| MP.其中所有正确命题的序号是__________________________ .210答案：①②③简解：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP|可知正确.11.到两定点A (0, 0) , B (3, 4)距离之和为5的点的轨迹是( )A.椭圆所在直线C.线段ABD.无轨迹11.答案：C4简解：数形结合易知动点的轨迹是线段AB y= x，其中0w x w 3.312 .若点(x, y)在椭圆4x2+y2=4上，则y的最小值为( ) x 2B. —1C. —- x3D.以上都不对312.答案：C简解：_^的几何意义是椭圆上的点与定点( 2, 0)连线的斜率•显然直线与椭圆相切时取得x 2最值，设直线y=k (x—2)代入椭圆方程(4+k2) x2—4k2x+4k2—4=0.2 2令A =0, k= ± 3 . k min= — 3 .3 32 213..已知F1 (—3, 0)、F2 (3, 0)是椭圆Z = 1的两个焦点，P是椭圆上的点，当/ F1PF2m n=空时，△ RPR的面积最大，则有( )3=12, n=3 =24 , n=63=6, n= =12 , n=6213.答案：A简解：由条件求出椭圆方程即得m=12, n=3.为双曲线C上一点，R、F a是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点F1作/ FPF2的平分线的垂线，设垂足为Q则Q点的轨迹是()12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线14.答案：B简解：延长F1Q与PF z相交点R,根据双曲线的定义，R在以F2为圆心的圆上，利用代入法得15.如下图，过抛物线y2=2px (p>0)上一定点P(x o, y o) (y o>0),作两条直线分别交抛物线于 A (X1, yj、B (X2, y2).(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求-^1一空的值，并证明直线AB的斜率是非零y o常数.解：(1 )当y=E 时，x=E.2 8又抛物线y2=2px的准线方程为x=——,2由抛物线定义得所求距离为P—(—P ) =5P .8 2 8(2)设直线PA的斜率为k pA直线PB的斜率为k pB., 2 2由y i =2px i, y o =2px o,相减得(y i —y o) (y i+y o) =2p (x i —x o),故k PA=红__y° = —— (x i 丰 x o).x i x o y i y o同理可得k PB= —2p—( X2丰x o).y2 y o由PA PB倾斜角互补知k PA=—k PB,即一= -------- —，所以y i+y2=—2y o,y i y o y2 y o故y■竺=-2.y o设直线AB的斜率为k AB.由y22=2px2, y i2=2px i,相减得(y2—y i) (y2+y i) =2p (X2—x i),所以k AB=壮——H = —— ( x i 丰 X2).X2 咅y i y2将y i+y2= —2y o (y o > o)代入得k AB= 2p=—卫，所以k AB是非零常数. y i y2 y oi6.如图，O为坐标原点，直线I在x轴和y轴上的截距分别是a和b (a>o, o),且交抛物线2y =2px ( p>o)于M( x i, y i), N (X2,泊两点.(i)证明：丄+丄=丄；y i y2 b(2)当a=2p 时，求/ MON 勺大小.l16证明：(1)直线l 的截距式方程为 -+— =1.①，由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay — 2pab=0. a b②解：点M N 的纵坐标y i 、y 2为②的两个根，故 y i +y 2= 2pa, y i y 2=— 2pa.b2 pa所以丄+丄=yi y2=^EJ.y i y 2 y i y 2 2 pa b(2)解：设直线 OM ON 的斜率分别为k i 、k 2, 贝y k i =上,k 2=比.x i x 22当 a=2p 时，由(2)知，y i y 2=— 2pa=— 4p ,2 2 2 2由 y i =2px i , y 2 =2px 2，相乘得(yy ) =4px i X 2,(2)当FA=X AP 时，求入的最大值•17解：(1)v 双曲线的渐近线为 y=± -x ,两渐近线夹角为 60°,a沐2=沁厂=鸣=4氐4p 24p 2y i y 2_ 4p 2=1因止匕k i k 2=2x 1 x 2 4 p 2所以 OM_ ON 即/ MON90 ° .2 217•已知椭圆C 的方程为笃+与a bC 的右焦点F 作直线l ,使I 丄l i , B.(如下图)=i (a>b>0),双曲线 2x~~2 a 设I2-芫=1的两条渐近线为l 1、l 2,过椭圆 b 2与椭圆C 的两个交点由上至下依次为MO Nbl 与I 2交于P 点, 又 (i )当l i 与12夹角为60°,C 的方程;又-<1, ax18 解：（I ）设厶 AOB 的重心为 G （x,y ）,A （x 1,y”,B（x 2,y 2）,则•••/ POx=30°,P =tan30。