中考数学复习圆专题复习教案【教学笔记】一、与圆有关的计算问题（重点）1、扇形面积的计算扇形：扇形面积公式 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形对应的圆的半径 ：扇形弧长 S ：扇形面积圆锥侧面展开图：（1）S S S =+侧表底=2R r r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=2、弧长的计算：弧长公式180n R l π=；3、角度的计算 二、圆的基本性质（重点）1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）相等的圆周角所对的弧也相等。

（3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。

（4）90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧（4）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等三、圆与函数图象的综合一、与圆有关的计算问题【例1】（2016•资阳）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2 ﹣ πB ．4 ﹣ πC ．2 ﹣π D ．213602n R S lR π==π 【解答】解：∵D 为AB 的中点，∴BC=BD=213602n R S lR π==AB ，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC =2213602n R S lR π==， ∴BC=AC •tan30°=2213602n R S lR π==•213602n R S lR π===2，∴S 阴影=S △AB C ﹣S 扇形C B D =213602n R S lR π==×2213602n R S lR π==×2﹣213602n R S lR π===2213602n R S lR π==﹣ π． 故选A ．【例2】（2014•资阳）如图，扇形AOB 中，半径OA=2，∠AOB=120°，C 是 的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．﹣2 B ． ﹣2 C ． ﹣ D ．﹣213602n R S lR π==解答：连接OC ， ∵∠AOB=120°，C 为弧AB 中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△AOC 、△BOC 是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC 的边AC 上的高是213602n R S lR π===213602n R S lR π==，△BOC 边BC 上的高为213602n R S lR π==，∴阴影部分的面积是213602n R S lR π==﹣213602n R S lR π==×2×213602n R S lR π==+213602n R S lR π==﹣213602n R S lR π==×2×213602n R S lR π===213602n R S lR π==π﹣2213602n R S lR π==，故选A ． 【例3】（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A ． 213602n R S lR π==π B ． 213602n R S lR π==π C ． 213602n R S lR π==π D ． π 解答： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°， 则分针在钟面上扫过的面积是：213602n R S lR π===π．故选：A ． 这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，B ． ，C ． ，D ． ，【课后练习】1、（2015南充）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P =40°，则∠ACB 的大小是（ B ）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°2、（2015达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ B ）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π3、（2015内江）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．45°解析：连接BD，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB是直径，∴∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠B=40°．故选A．4、（2015自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为A．2π B．π C． D．解析：∠BOD＝60°5、（2015凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80° B．100° C．110° D．130°6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7、（2015泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65° B．130° C．50° D．100°8、（2015眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，则∠B的度数为（）A．300 B．350 C．400D4509、（2015巴中）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC =50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．30°10、（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE = ，CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11、（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．4π﹣2D ．4π﹣412、（2015达州）已知正六边形ABCDEF 的边心距为 cm ，则正六边形的半径为 cm ． 13、（2015自贡）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使AC=3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点．若CD ＝ ，则劣弧AD 的长为 ．14、（2015遂宁）在半径为5cm 的⊙O 中，45°的圆心角所对的弧长为 cm ．15、（2015宜宾）如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD =OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是213602n R S lR π==的中点，弦CF 交AB 于点E ．若⊙O 的半径为2，则CF = ．16、（2015泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．17、（2015眉山）已知⊙O 的内接正六边形周长为12cm ，则这个圆的半经是_________cm ．18、（2015广安）如图，A ．B ．C 三点在⊙O 上，且∠AOB =70°，则∠C = 度．19、24．（2015巴中）圆心角为60°，半径为4cm 的扇形的弧长为 cm ．20、（2015甘孜州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，则∠ABC 的大小为 度．二、圆的基本性质【例1】（2016•资阳）如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD ．（1）求证：∠A=∠BDC ；（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，D M=1，∴DN=DM=1，∴MN==．【例2】（2015•资阳）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E 为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.解答：解：（1）连接OD，BD，∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）作EF⊥CD于F，设EF=x∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，∴BE=CE=x，∴AB=BC=2x，在RT△ABE中，AE==x，∴sin∠CAE==．【例3】（2014•资阳）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O 于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2213602n RS lRπ==，∴OC=213602n RS lRπ===3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴213602n RS lRπ===213602n RS lRπ==，即213602n RS lRπ===213602n RS lRπ==，∴CE=213602n RS lRπ==．【例4】（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD ．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．解答：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=213602n RS lRπ==AC=213602n RS lRπ==×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=213602n RS lRπ==r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（213602n RS lRπ==r）2，解得r=213602n RS lRπ==；（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，根据翻折的性质，213602n RS lRπ==所对的圆周角等于213602n RS lRπ==所对的圆周角，∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．1、（2015达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③213602n RS lRπ==，④OD：OC=DE：EC，⑤213602n RS lRπ==，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解析：如图，连接OE，∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。