0
P ( P) 0 E0 dl 0 E0 dl 0 0 0 E0 rp
P
若选ϕ0=0，则有
E0 r E0 r cos
例 2 ：真空中均匀带电的 无限长直导线的电荷线 密度为 ，求电势。 设场点 p 到导线的距 离为R，电荷元 到p 点的距离为 ，电势 由公式 求 得 p 点的电势为
本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的
情况。
本章研究的主要问题：
在给定的自由电荷分布以及周围空间介质
和导体分布的情况下，求解静电场。
§1静电场的标势及微分方程
1。静电场的标势
静电场不随时间变化为无旋场
或 库仑场 无旋有势，定义:
积分 与路径无关
电势差
2d 0
di dj i d j d
ni
2
n j
2
0
d |s 0
d |s 0 n
( ) ( )
考虑第i个均匀区域V的界面S上的积分

Si
id d d Si V ( id d )dV
只需给出①每个导体的 值 或②每个导体上的电量
证明： 考虑去掉导体后的绝缘介质区域 第一种情况：给出了第一类边界条件 第二种情况： 对导体表面有
d

2 d
d
dS 0
i

d
d
dS 0
(
i Vi i
) dV

Si
id d d S 0
例题（注：用唯一性定理解题） 如图，两同心导体球壳之间 充满两种介质。左半边电容 率为 ，右半边电容率为 ，设内球带电量 Q ，外 球壳接地。求空间的电场和 球壳上的电荷分布。
分析两介质面 这样可取 设： 在球的 方向。且 假设 E 球对称 这样可满足 E 在切向连续
电荷分布满足了，总边界条件满足了，内部边界满足了，由 解的唯一性定理保证，上面得到的结果就是问题的解。
d
在每个均匀区域内，有：
2 / i 2
2d 0
在任意两均匀区域的界面上，有：
di dj
d d i j 0 ni n j
在整个区域的边界上，有：
d |s 0
或
d |s 0 n
i

Vi
2 i (d ) dV V d i d dV
2
i
对所有分区求和，得

i
Si
id d d Si
i

Vi
i (d )2 dV
(
i Vi i
d
) dV 0
2
d 0
d 常量
2。有导体时的唯一性定理
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。 ③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势
2。静电势的微分方程
a.一般介质的边界条件
b.导体的静电条件
静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关 系的泊松方程的解
d 0
§2唯一性定理 1。静电问题的唯一性定理
2。有导体时的唯一性定理
唯一性定理说的是只要物理问题满足区域内的电荷分 布和边界条件相同，它们的解就是等价的，就都是问 题的解，没有区别，其解唯一。换句话说：只要保证 问题条件不变，怎么求都行！！！
因此，在实际问题中，可以根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求 的条件，它就是唯一正确的解。
由查表得
p 点和 p0 的电势差
静电场标势
2。静电势的微分方程
泊松方程
3。荷在外场中的电势能、静电场能
电荷在外场中的势能
电荷在外场中，电荷的场和外场的叠加
外场场能
点电荷场能
两场能交叉项
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为 参考点，规定其上电势为0
静电场标势
已知电荷分布求电势 点电荷
叠加原理 连续分布
全空间电荷为0，库仑场的标势为0
例1 求均匀电场 E0的电势。 解： 均匀电场每一点强度 E0相同，其电场线为平行
直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电 势为 0 ，那么任一点P处的电势为 P ( P) 0 E0 dl
2 0
这就是拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。
§2唯一性定理
1。静电问题的唯一性定理

2
若在有限的边界区域 V内有
几种均匀绝缘介质，V 内的
自由电荷分布为已知，那么 当 V的边界面S上满足一定
边界条件时, 静电场方程有
唯一确定的解。
(1) |s f1
证明：设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的 条件，令
静电场的方程及边界条件
静电势方程
边界条件
导体的静电条件① 静电问题的唯一性定理 ② ③
静电问题有解的条件：
求解区域V内给定自由电荷分布ρ(x) ，在V的边界S 上给定
或
（i）电势 S
（ii）电势的法向导数
n S 若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。 则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 电容器内部的电场是由作为电极的两个 例如： 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空
间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：