初中数学人教版《相似三角形》精美 版
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题型三 相似三角形的性质 典例 [2018·荆门]如图 Z7－5，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个 三等分点，连接 AF，BE 交于点 G，则 S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 C．1∶9
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变式跟进 1.如图 Z7－2，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针 旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的 长为__2_＋___3_4_____．
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7．如图 Z7－10，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐 标分别为 A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)以点 M(1，2)为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图 形△A2B2C2 且与△A1B1C1 同侧，使△A2B2C2 与△A1B1C1 的相似 比为 2∶1； (3)求出 A2，B2，C2 三点的坐标．
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综上所述，当 AE＝53或152时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
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变式跟进 2 答图
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3．如图 Z7－4，将一个 Rt△BPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使
其直角顶点 P 落在线段 CD 上(不与 C，D 两点重合)，斜边的一部分与
线段 AB 重合．
Rt△ EPB，
(1)图中与 Rt△BCP 相似的三角形共有___3___个，分别是____________
Rt△ PDF， Rt△ EAF
_____________________；
(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP 相
AC 于点 F，G.
(1)求 CD 的长； (2)若点 M 是线段 AD 的中点，求DEFF的值．
图Z7－12
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解：(1)∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝12∠BAC＝30°， 在 Rt△ADC 中，CD＝AC·tan30°＝2 3； (2)易得 BC＝6 3，BD＝4 3， 由 DE∥AC，得∠EDA＝∠DAC，∠DFM＝∠AGM， ∵AM＝DM，∴△DFM≌△AGM，∴DF＝AG， 由 DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴AEGF＝BAEB＝BBDC， ∴DEFF＝AEGF＝BBDC＝46 33＝23.
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变式跟进 4.[2018·连云港]如图 Z7－6，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，
1∶ 9
DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为_________．
图 Z7－6 【解析】 ∵DE∥BC，AD∶BD＝1∶2， ∴AADB＝13，△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBCE＝19.
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变式跟进 8.[2019·衢州节选]如图 Z7－12，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
AC＝6，∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE∥AC
交 AB 于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点，连结 BM 并延长分别交 DE，
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5．如图 Z7－7，有一块三角形的余料 ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC ＝8 cm，高 AD＝12 cm，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上，G，H 分别在 AC，AB 上，设 HE 的长为 y cm、EF 的长为 x cm. (1)写出 y 与 x 的函数解析式； (2)当 x 取多少时，四边形 EFGH 是正方形？
似的证明．
图Z7－4
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解：(2)以△BCP∽△EPB 为例： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABP＋∠PBC＝∠C＝90°. ∵∠PBC＋∠BPC＝90°， ∴∠ABP＝∠BPC， 又∵∠BPE＝∠C＝90°， ∴Rt△BCP∽Rt△EPB.
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∵∠EGA＝∠AMF＝90°， ∴∠AEG＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM， ∴∠AFM＝∠AEG， ∵∠FAD＝∠EGA＝90°，∴△FAD∽△EGA， ∴DAEF＝AADG＝AACB＝34.
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图 Z7－5 B．3∶1 D．9∶1
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【解析】 ∵E，F 为 CD 边的两个三等分点， ∴EF＝13CD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴EF＝13AB，△EFG∽△BAG， ∴S△EFG∶S△ABG＝EBFA2＝19.故选 C. 【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三 角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比．
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题型二 相似三角形的判定 典例 已知：如图 Z7－3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.求证：∠C＝∠E.
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图 Z7－3
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证明：在△ABE 和△ADC 中， ∵AB·AC＝AD·AE，∴AADB＝AAEC， 又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E.
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变式跟进 6.[2019·古冶区一模]如图 Z7－9，已知△ABC，任取一点 O，连接 AO，
BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( C ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；
②△ABC 与△DEF 是相似图形；
图Z7－10
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解：(1)如答图； (2)如答图； (3)A2(3，6)，B2(5，2)，C2(11，4)．
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变式跟进 7 答图
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题型五 相似三角形的综合
典例 [2018·湖州]已知在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，
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变式跟进 2.在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D 在边 AB 上，且 AD＝2，点 E 在 边 AC 上，当 AE＝__53_或__15_2____时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 【解析】 ∵∠A＝∠A，分两种情况：如答图①， 当AADE＝AABC时，△ADE∽△ABC， 即A2E＝65，∴AE＝53； 如答图②，当AADE＝AACB时，△ADE∽△ACB， 即A2E＝56，∴AE＝152.
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图 Z7－7
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解：(1)由题意知 AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x， ∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC， ∴AADK＝HBCG，即121－2 y＝x8，∴y＝12－32x； (2)由(1)可知 y 与 x 的函数解析式为 y＝12－32x， ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴HE＝EF，即 x＝y， ∴x＝12－32x，解得 x＝254. ∴当 x＝254时，四边形 EFGH 是正方形．
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题型四 位似图形及其画法
典例 如图 Z7－8，在平面直角坐标系中有△ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，
将△ABC 放大，则它顶点的对应点的坐标为( C ) A.2，32，32，12，12，1
B．(8，6)，(6，2)，(2，4)
③△ABC 与△DEF 的周长比为 1∶2；
④△ABC 与△DEF 的面积比为 4∶1.
A．7－9
【解析】 ∵将△ABC 的三边缩小到原来的12，∴△ABC 与△DEF 的周长比为 2∶1，
故③选项错误．①②④选项正确，故选 C.
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C．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，
－4)
D．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，(－6，2)， (－2，4)
图Z7－8
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【解析】 由坐标系可知，点 A，B，C 的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，则放大 后，它们的对应点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2， －3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8， －6)，(－6，－2)，(－2，－4)．故选 C. 【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形与原图形 对应点的坐标比等于 k 或－k.
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