2013届鄞州高级中学高三数学（文）9月月考试卷一，选择题（本大题共10个小题，每个小题5分，共50分）（ B ）1 已知集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，则 A A B ⊆ B B A ⊆ C A=B D A B =∅（ D ）2 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 12i - B 2i - C 2i + D 12i + （ B ）3已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 A ．4π B ．7π C ．6π D ．5π （ D ）4已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，则1197a a a ++的值为 A.10 B.20 C.25 D.30（ A ）5 已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系式为A c b a << B c a b << C b a c << D b c a <<（ A ）6若实数x,y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则S=2x+y －1的最大值为A ．6B ．4C ．3D ．2（ A ）7 已知0,0ωϕπ><<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则 ϕ= A 4π B 3π C 2πD 34π（ B ）8 在三角形ABC 中,1,22A AB AC π===，设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ AC λλ==-，若2BQ CP •=-， λ= A 13 B 23 C 43D 2（ A ）9 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得2116m n a a a •=，则14m n+的最小值为 A32 B 53 C 256D 25 （ D ）10 数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项的和为A 3690B 3660C 1845D 1830 二，填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）11 曲线ln 2y x x =+，在点(1,2)处的切线方程为____1y x =+_________12 等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3230S S +=，则42S a =__52________ 13 已知0,0a b >>且(,1),(,0),(1,2)A a B b C ---三点共线，则12a b+的最小值为____8_____14 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当01x ≤≤时，()1f x x =+，则5()3f =__43____15已知43sin()sin ,0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于______45_____16 设,x y 满足21046020(0)x y x y x y k k --≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥<⎩若224z x y =+的最小值为25，则______7k =-17 已知函数31(0)()(1)1x x f x f x ⎧-≤=⎨-+⎩把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为____________1n a n =-三解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（本题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,,C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()16cos cos B C B C --= （1）求cos A （2）若3,a =ABC ∆的面积为,b c （1）由已知得1cos()3A B +=-1cos 3A ∴=（2）0sin A A π<<∴=又ABC ∆的面积为1sin 62bc A bc ==，又22()2(1cos )9a b c bc A =+-+=235,32b b bc c c ==⎧⎧∴+=∴⎨⎨==⎩⎩19（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且111,21n n a a S +==+，（n ∈N ﹡），数列{n b }满足32log 3n n b a =+，（n ∈N ﹡）.（1）求a n ，b n ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T（1）21213a S =+=，当12,21n n n a S -≥=+ 13(2)n n a a n +∴=≥又213a a = 1332log 321n n n n a b a n -∴=∴=+=+ （2）21315373...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯3n T = 213353...(21)3(21)3n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯ 21232323...23(21)3n nn T n -∴=--⨯-⨯--⨯++⨯=16(13)3(21)313n n n ----+++⨯-3n n T n ∴=⨯20（本题满分14分）如图一，平面四边形ABCD 中，3A π=,2,2C CB CD AB AD π====且．把ABD∆沿BD 折起（如图二），使二面角A BD C --（1）求AC 的长（2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】解：（2）取BD 的中点E ，连接CE AE ,， 由CD CB AD AB ==,，得：BD CE BD AE ⊥⊥,AEC ∴∠就是二面角C BD A --的平面角，33cos =∠∴AEC …………………………2分在ACE ∆中，2,6==CE AEAEC CE AE CE AE AC ∠⋅⋅-+=cos 2222C BDA 图1BCA图243326226=⨯⨯⨯-+=2=∴AC由AB AD BD ===2===CD BC AC ,222AB BC AC =+,222AD CD AC =+ ︒=∠=∠90ACD ACB ,AC BC AC CD ∴⊥⊥， 又C CD BC = AC ∴⊥平面BCD ． （2）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE ⊂BD 平面ABD ∴平面⊥ACE 平面ABD 平面 ACE 平面AE ABD =，作CF AE ⊥交AE 于F ，则CF ⊥平面ABD ，CAF ∠就是AC 与平面ABD 所成的角，sin sin CE CAF CAE AE ∴∠=∠==．方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ，∵BCDA ABD C V V --=1111602223232h ∴⨯⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯3h ∴=于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为33sin ==AC h θ． 21 （本题满分15分）已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ,且1631,28a S S ==，各项均为正数的等差数列{}n b 的前n 项和为n T 且315T =,(1) 求数列{}n a 的通项公式和2b （2）若112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T （3）在（2）的条件下证明12311113...4n T T T T ++++< （1）由已知得33633328272S S q S S q q =+=∴=∴= 13n n a -∴= 又3223155T b b ==∴=（2）112233,,a b a b a b +++成等比数列2(35)(6)(14)d d ∴+=-+2,10d d ∴==-（舍去）21n b n ∴=+ (321)(2)2n n nT n n ++∴==+（3）由（2）知11111()(2)22n T n n n n ==-++ 123111*********...(1...)2324352n T T T T n n ++++=-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++34< 22 已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行 （1）求k 的值，（2）求()f x 的单调区间 （3）若()()2xg x xe f x x m =--在[1,)+∞恒有()0g x ≥，求实数m 的取值范围。

（1）'1ln ()xx k x f x e--= 又'(1)01f k =∴=（2）由（1）得'11ln 1ln ()x x x x xx x f x e e ----== 当'(0,1),()0x f x ∈>当'1,()0x f x ><，()f x ∴的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞（3）()ln 0ln g x x x x m m x x x =--≥∴≤- 令()ln h x x x x =-则'()ln h x x ='1,()0x h x ∴>> min ()(1)1h x h ∴==- 1m ∴≤-。