第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I∈都有()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的一个原函数.例如：因()22x x '=，故2x 是2x 的一个原函数.定理（原函数存在定理）：如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数.注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数.定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰， 其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+⎰注：()d f x x ⎰是()f x 的原函数，故有d ()d ()d f x x f x x⎡⎤=⎣⎦⎰或d ()d ()d ;f x x f x x ⎡⎤=⎣⎦⎰又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+⎰或d ()().F x F x C =+⎰所以记号⎰与d 是互逆的 例：求d x x ⎰解：由于22x x '⎛⎫=⎪⎝⎭，所以22x 是x 的一个原函数，因此2d 2x x x C =+⎰ 例：求1d x x⎰解：当0x ＞时，有1(ln )x x'= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x'-=⋅-=-，故ln |1d |x C x x =+⎰函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.例：已知曲线上任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的两倍，且曲线经过点(1,2)，求该曲线的方程解：设所求曲线方程为()y f x =，由题意得()2f x x '=，即()f x 为2x 的一个原函数，所以2()2,d f x x x x C ==+⎰又所求曲线通过点(1,2)，故21C =+，1C = 于是所求曲线方程为21y x =+二、基本积分表 （1）d k x kx C =+⎰（k是常数） （2）11d x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）（3）l d n x x C x=+⎰ （4）ln d xxa a x C a=+⎰（5）e e d x x x C =+⎰（6）cos s d in x x x C =+⎰ （7）sin c d os x x x C =-+⎰（8）22d sec ta d n cos x x x x C x==+⎰⎰ （9）22csc co d t sin d xx x x C x==-+⎰⎰（10）2arcsin 1x C x=+-⎰（11）2arctan 1d xx C x=++⎰（12）sec tan se d c x x x x C =+⎰ （13）csc cot cs d c x x x x C =-+⎰例：求d x xx⎰解：3131222d d 2312xx x x C xC C x xx-+--==+=-+=-+-+⎰⎰三、不定积分的性质 （1）[]()()()d d )d (f x g x x f x x g x x +=+⎰⎰⎰（2）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰注：性质（1）可推广到有限多个函数的情形例：求32(1)d x x x-⎰ 解：33222(1)331d d x x x x x x x x --+-=⎰⎰231(3)d x x x x =-+-⎰ 2d d d 3d 3x x x x x x x=-+-⎰⎰⎰⎰2133ln 2x x x C x =-+++ 例：求3e d x xx ⎰解：(3e)3e 3e d (3e)d ln(3e)1ln 3x x x x x xx x C C ==+=++⎰⎰ 例：求42d 41x x x -+⎰ 解：()()224422211341311d d d 1xx x x x x x x x x +-----==+++⎰⎰⎰2222311311d d d d x x x x x x x x =--=--++⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰33arctan 3x x x C =--+ 例：求2tan d x x ⎰解：()22tan d s 1d ec x x x x =-⎰⎰2d sec d x x x =-⎰⎰tan x x C =-+例：求2sin d 2xx ⎰解：211sin d (1cos )d (1cos )d 222x x x x x x =-=-⎰⎰⎰ 11(d cos d )(sin )22x x x x x C =-=-+⎰⎰ 例：求221d sin cos 22x x x⎰ 解：22211d d sin sin cos ()222x x x x x =⎰⎰24csc d 4cot x x x C ==-+⎰ 例：求4222+3d 1x x x x ++⎰解：422222+34d =2-1+d =11x x x x x x x +++⎰⎰（）2212d -1d +4d 1x x x x x +⎰⎰⎰32=-4arctan 3x x x C ++ 注：①多项式除法②42422222222222+322-+3-3+1-4==2-=2-1111x x x x x x x x x x x x x ++++++ 作业：第二节 换元积分法一、第一类换元法 定理：设()f u 具有原函数，()u x ϕ=可导，则有换元公式()[()]()d ()d u x f x x x f u u ϕϕϕ=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰证：由[()][()]()d dF x f x x x ϕϕϕ'=则[()]()d [()]f x x x dF x ϕϕϕ'=⎰⎰[]()[()]()u x F x C F u C ϕϕ==+=+()()d u x f u u ϕ=⎡⎤=⎣⎦⎰上述方法称为第一类换元法，也叫凑微分法 例：求2cos 2d x x ⎰解：2cos 2d cos 2(2)d x x x x x'=⋅⎰⎰2cos d sin sin 2u x u u u C x C ==+=+⎰令例：求1d 32x x +⎰ 解：11111d (32)d d 323323x x x u x x u '=⋅+=++⎰⎰⎰11ln ||ln |32|33u C x C =+=++ 例：求2e d x x x ⎰解：()222222111e d e d e d e 222xx x x x x x x x C '===+⎰⎰⎰例：求⎰解：12221(1)()d 2x x x x '=-⋅⎰⎰12221(1)d(1)2x x =---⎰ 3322221(1)1(1)3232x C x C -=-⋅+=--+例：求22d xa x +⎰解：22222dd 1d 11arctan 11xx x x a C a a a a x a x x a a =⋅==++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰例：x解：arc i ds nx xx C a==+ 例：求22d xx a -⎰解：22d 111d 2x x a x a x a x a⎛⎫=- ⎪-+-⎝⎭⎰⎰1d d 2x x a x a x a ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰⎰1d()d()2x a x a a x a x a -+⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦⎰⎰1(ln ||ln ||)2x a x a C a=--++1ln 2x a C a x a -=++ 例：求()1d 1+2ln x x x ⎰解：()()d 1+2ln 1d ln 11d ln 1+2ln 1+2ln 1+2ln 21+2ln 2x x x x C x x x x ===+⎰⎰⎰例：求x解：(22233x e e e C ===+⎰⎰例：求3sin d x x ⎰解：32sin sin si d d n x x x x x =⎰⎰()2co s 1s co -d x x =-⎰3cos co -+3s xx C =+ 例：求23sin cos d x x x ⎰解：2322sin cos sin cos sin d d x x x x x x =⎰⎰()22sin 1si d n sin x x x =-⎰()3524sin sin sin sin sin 3d 5x xx x x C =-=-+⎰例：求tan d x x ⎰解：sin 1tan d d dcos ln |cos |cos cos x x x x x x C x x ==-=-+⎰⎰⎰类似可得cot d ln |sin |x x x C =+⎰例：求2cos d x x ⎰解：()21cos 21cos cos 22d d d d 2x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰11cos 2(2)2d 4d x x x =+⎰⎰ sin 224x xC =++ 例：求4sec d x x ⎰解：()4222sec d sec sec d 1tan d(tan )x x x x x x x ==+⎰⎰⎰2d(tan )tand(tan )x x x =+⎰⎰31tan tan 3x x C =++例：求3tan sec d x x x ⎰解：()322tan sec d tan tan sec d sec 1d(sec )x x x x x x x x x =⋅=-⎰⎰⎰231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰例：求csc d x x ⎰解：2d d d 2csc d sin 2sin cos tan cos 2222x x x x x x x x x x ===⎰⎰⎰⎰d tan 2ln tan 2tan 2x x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰ 又因为2sin2sin 1cos 22tan csc cot 2sin sin cos 2x xx x x x x x x-====- 所以 csc d ln csc cot x x x x C =-+⎰类似可得sec d ln sec tan x x x x C =++⎰例：求cos3cos2d x x x ⎰解：()111cos3cos2d =cos +cos5d =cos d +cos5d52210x x x x x x x x x x ⎰⎰⎰⎰ 11=sin +sin5210x x C + 作业：二、第二类换元法 定理：设()x t ψ=单调、可导，且()0t ψ'≠，又设[()]()f t t ψψ'具有原函数，则有换元公式1()()[()]d (d )t x f x x f t t t ψψψ-=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰证：设[()]()f t t ψψ'的原函数为()t Φ，记1()=()x F x ψ-⎡⎤⎣⎦Φ，则()1()==[()]()=[()]=()d dt F x f t t f t f x dt dx t ψψψψΦ''⋅⋅'，即()F x 是()f x 的原函数 ()11()()()+=+d ()t x f x x C x t x C C F ψψ--=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣+=ΦΦ⎦⎰1()=[()]d ()t x f t t t ψψψ-=⎡⎤'⎣⎦⎰ 例：求22d (0)a x x a -⎰＞解：设sin x a t =，22t ππ-≤≤， 2222d cos d(sin )cos d a x x a t a t a t t -==⎰⎰⎰2(1cos2)d 2a t t =+⎰21(sin 2)22a t t C =++222=arcsin 22a x x a x C a +-+例：求22d (0)x a x a+⎰＞解：设tan 22x a t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，则222sec d d sec d sec a t x t t t a t x a ==+⎰⎰⎰ln sec tan t t C =++221ln x x aC a ⎛⎫+ ⎪=++ ⎝⎭()22ln x x a C =+++类似地，得2222d ln x x x a C x a =+-+-⎰（0a >）（14）tan d ln cos x x x C =-+⎰（15）cot d ln sin x x x C =+⎰（16）sec d ln sec tan x x x x C =++⎰（17）csc d ln csc cot x x x x C =-+⎰（18）22d 1arctan x x C a a a x=++⎰（19）22d 1ln 2x x aC a x a x a -=++-⎰（20）1arcs inx x C a =+（21）()1ln x x C =+ （22）ln x x C =+倒代换：分子次数远低于分母次数（相差两次以上）时，采用此法例：求4d x x⎰解：令1x t =，则21d -d x t t=，故()12224=1x a t t dt xt -⎰当0x >时，有()()()32221222222211=-11=-+23a t x a td a tC x a a---⎰()322232222223--=-+-+33a x a x x C C a a x⎛⎫ ⎪⎝⎭=当0x <时，有相同的结果 作业：第三节 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数，则()uv u v uv '''=+， 两端求不定积分，得uv u vdx uv dx ''=+⎰⎰，从而uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰即udv uv vdu =-⎰⎰称为分部积分公式 例1：求cos x xdx ⎰ 解：cos (sin )sin sin x xdx xd x x x xdx ==-⎰⎰⎰sin cos x x x C =++例2：求e xx dx ⎰解：e e e e x x x x x dx xd x dx ==-⎰⎰⎰e e (1)e x x xx C x C =-+=-+注：222e e e e 222xxx xx x x x dx d dx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，不可以 例3：求2e xx dx ⎰解：22222e (e )e e ()e 2e x x x x x x x dx x d x d x x x dx ==-=-⎰⎰⎰⎰22e 2(e e )e (22)x x x x x x C x x C =--+=-++结论：当被积函数为幂函数与三角(弦)函数或指数函数的乘积时要把幂函数看成u . 例4：求ln x xdx ⎰解：2222221ln ln (ln )ln ln 222224x x x x x x x xdx x d x x dx x C x =-=-⋅=-+⎰⎰⎰（） 例5：求arctan x xdx ⎰解：22211arctan =arctan =arctan -arctan 222x x xdx xdx x x d x ⎰⎰⎰ 2222221111arctan arctan 222211x x x x x dx x dx x x +-=-=-++⎰⎰ ()222111arctan 1=arctan arctan +22221x x x dx x x x C x ⎛⎫=---- ⎪+⎝⎭⎰()211=+1arctan +22x x x C - 例6：求arccos d x x ⎰解：arccos arccos arccos xdx x x xd x =-⎰⎰arccos x x x =+()21arccos 12x x x =--arccos x x C = 结论：当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时要把对数函数或反三角函数看成u .例7：求e sin xxdx ⎰解：e sin sin (e )e sin e cos xx xxxdx xd x xdx ==-⎰⎰⎰e sin cos (e )x xx xd =-⎰e sin e cos e sin x x x x x xdx =--⎰所以1e sin e (sin cos )2xxxdx x x C =-+⎰ 例8：求3sec xdx ⎰解：32sec =sec tan sec tan tan sec sec tan sec tan xdx xd x x x xd x x x x xdx =-=-⎰⎰⎰⎰()23=sec tan sec sec 1=sec tan sec +sec x x x x dx x x xdx xdx ---⎰⎰⎰ 3=sec tan +ln sec tan sec x x x x xdx +-⎰所以31sec (sec tan +ln sec tan )2xdx x x x x C =++⎰总结：以上两个例题为循环出现解方程型. 以上所有例题所用的方法都是比较典型的. 例9：求⎰解：设t =，则2x t =，2dx tdt =，于是2e t t dt =⎰⎰)2e (1)1t t C C =-+=+作业：212-21369116P 、、2、15、、20、24第四节 有理函数的积分一、有理函数的积分 定义：两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称有理分式，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，称这有理函数为真分式,否则称为假分式.由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分．例如：422222342111x x x x x ++=-+++根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分． 设()()P x Q x 为真分式 第一步：对分母()Q x 在实系数内作标准分解：()()()()()1121112st s t t Q x x a x a x p x q x p q μλμλ=--++++L L第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()kx a -的因式，它所对应的部分分式是()()122k k A A A x a x a x a +++---L 对每个形如()2kx px q ++的因式，它所对应的部分分式是()()11222222k kkB xC B x C B x C x px q x px qxpx q++++++++++++L第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()Q x ，而其分子亦应与原分子()P x 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例：对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解解：按上述步骤依次执行如下：()Q x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x xx =-+-+部分分式分解的待定形式为()012222212A A A Bx Cx x x x x ++++-+-++ 例：求215d 6x x x x +-+⎰解：设213256x A Bx x x x +=+---+，得1231A B A B +=⎧⎨+=-⎩，从而解得4,3A B ==于是2143()d 3256d x x x x x x x +=----+⎰⎰4ln 33ln 2x x C =---+例：求2d 2(21)(1)x x x x x ++++⎰ 解：设22221(21)(1)1x A Bx C x x x x x x ++=+++++++，有20212A B A B c A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得210A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 于是2d 2(21)(1)x x x x x ++++⎰22()d 211x x x x x =-+++⎰21(21)1ln 21d 21x x x x x +-=+-++⎰ 2221d(1)1d ln 2113221()24x x xx x x x ++=+-+++++⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++例：求()()2311d x x x x---⎰解：设()()()2231+11+11x AB Cx x x x x -=++---，得1,1=1A B C ==--， 于是()221111d 1+1561d x x x x x x x x ⎡⎤+--=++⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1ln 1ln +11x x C x =+--+-步骤：①化假为真（凑或用多项式除法） ②分母分解因式（分解到最简） ③分解成部分分式之和④求解各个小积分（特别是分母是两次的）二、可化为有理函数的积分举例 设tan()2xt x ππ=-<<，则 2222tan2tan222sin 2sin cos 221sec 1tan 22x xx x t x x x t ====++ 222222221tan 1tan 122cos cos sin 221sec 1tan 22xxx x t x x x t ---=-===++222tan22tan 11tan 2xt x x t ==-- 例：求1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰ 解： 设tan()2x t x ππ=-<<，则22d d 1x t t=+ 于是22222211sin 21d d sin (1cos )121111tx t x t x x t t t t t +++=⋅++⎛⎫-+⎪++⎝⎭⎰⎰ 21112d 2ln 222t t t t t C t ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 211tan tan ln tan 42222x x xC =+++ 注：万能换元对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的． 例：求解：设u =，于是 32x u =-，2d 3d x u u =，23d 1u u u =+⎰2113d 1u u u -+=+⎰23(ln |1|)2uu u C =-+++3ln |1C =++ 例：求解：设t =，于是5d 6d x t t =，5236d (1)t t t t =+⎰226d 1t t t =+⎰2161)d 1(t t =-+⎰6(arctan )t t C =-+C =+作业：第四章复习1. 求3d 3x x x +⎰ 解：33222731=39=9273323d d 3d x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 323=927ln 332x x x x C -+-++ 2. 求22+3310d x x x x +-⎰ 解：()()22+32+311==++52+52310d d d x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪--+-⎝⎭⎰⎰⎰ 11=+=ln +5l 2+2d d n 5x x x x C x x +-+-⎰⎰ 3. 求2+12d 5x x x x -+⎰ 解：2222+1122+41221==22225252525d d d d x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰ ()()222111=25222514d d x x x x x x -++-+-+⎰⎰ ()22111=ln 2521221d x x x x --++-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰()211=ln 25arctan 22x C x x --+++ 4. 求()2d 1xx x+⎰解：()2221=+ln 11d d 1d xx x x x x x x x x x -⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ ()()222d 111ln 1ln ln 1221x x x x x C =-+=-+++⎰。