大一下学期高等数学期中考试试卷及答案大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ） (A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）221xy y x y +++='(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dtdz 。
3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。
四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-012y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方程．2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．六、证明题（本题共12分）1、设函数⎪⎭⎫⎝⎛=x y xzF x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x ∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xz F kx k ,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、 ()()()21113222=-+++-z y x2、12．3、2450x y z +--=．4、05、232x y +；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1（A ） 2（B ） 3（C ） 4（C ） 5（A ）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：x x y yd )1(1d 2+=+ 上式两端积分得c x x x x y y y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 22即 ： c x x y ++=2arctan 2其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为.)121(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：()u t v u t uv uu z sin cos 22-=+∂∂=∂∂，()uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u tz cos =∂∂ 依复合函数求导法则，全导数为dtdt t z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ()1cos 12sin 2⋅+⋅+-=u t uv e u t v t()tt t t e t e t e e t t cos ln 2sin ln 2++-=3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,222y e y x f y y x e y x f xy x x ，得驻点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21。
由于()()124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，224e B AC =-，所以函数在点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-。
四、应用题（本题8分） 1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万） 五、综合题（本大题共21分）1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ρ，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a cc a 1010101012，，，，，，s ρ， 作 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca，，s s n ρρρ，取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2111c bc ca，，n ρ为法向量的平面01=+--czb y a x ，就是过1l 且平行于2l 的平面方程．2、解：设球面上点为(,,)x y z ．令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，222211120,20,20,503x y z L x L y L z L x y z R x y zλλλλ=+==+==+==++-=由前三个式子得2223z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为5(,))f R R =． 六、证明题（本题共12分）1、证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y x z F x x z x y xz F x x y x z F kx x u kkk ⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y xz F zx x y xz F kx k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x z F x x x y x zF x y u k k ,1,212⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以，zu z y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y xz F zx x y x zF kx x k k k ,,,22121 ⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y xzF x y k k ,,1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x z F kx k ,。