′ = αλν αµσTνσ 二阶张量： Tλµ
对称张量： Tµν = Tνµ ，有10个独立分量（四维） 例如三维空间中对称张量：电四极矩张量Qij；转动惯量 张量I；材料力学中的应力张量 ；Maxwell应力张量；电 磁场动量流密度张量Tij等等。
Tµν = −Tνµ 只有6个独立分量,因为 Tµ µ＝0 反对称张量：
三阶张量有43=64个分量：Tµνλ
三阶全反对称张量：Tµνλ ，若对每两个脚标都是反对称的 称之为三阶全反对称张量。即有二个及二个以上脚标相同 时矩阵元为零，共40个0元素，24个非零元素。 24个非零元素中只有4个独立元素T234,T314，T412 和 T123. 它们可用一个4维矢量表示。
A′ µ = α µν A ν
同意味着求和。
约定脚标希腊字母从1取到4，英文字母从1取到3，脚标相 这种约定求和的脚标如上式中ν称为“哑标”，对不参加求和 的脚标，如上式中的μ称为“自由脚标”。 等式两边的自由脚标必须对应。 由于哑标只表示对该脚标从1到4求和的一个约定，所以哑 脚标的字母可以更换，如上式中 A′ µ = α µν A ν = α任意一个二阶张量总可以分解为一个二阶对称张量和一个 二阶反对称张量之和”。 证明：设Tµ σ 为任意一个二阶张量，
Tµ σ = Tµ σ + Tσµ 2 + Tµ σ − Tσµ 2 = Sµ σ + Aµ σ
式中 S µ σ = S σµ 是对称张量，
A µ σ = − A σ µ 是反对称张量，证毕。
三维空间中反对称张量是两矢量叉乘出来的，又叫赝矢 r r r r r r r r r r r υ = ω× r，L = r × F ， J = r × p 量。例如 B = ∇ × A ， r r r r B, ω, L, J 构成三维空间的二阶反对称张量，因只有三个独 立分量故可用一矢量表示，叫赝矢量。 在坐标变换时不能当矢量处理，否则会出错。 在四维空间二阶反对称张量有六个独立分量，比空间维数 多2，不能用4-矢量表示。 坐标变换时必须还物理量的本来面目。 顺便指出:在正交变换下,对称张量保持为对称;反对称张量 保持为反对称。
结论：一个矢量场的偏微商构成一个二阶张量场，依次类推。
如果 A νµ 是一个二阶张量场，其微商就构成一个三阶张量场。
将这普遍结论表述为定理如下：
定理：
一个r阶张量场对坐标 x µ 的偏微商是一个r+1阶的张量场 （证明略）。 注意：此定理只对笛卡尔张量场适用，因为对笛卡儿张量 场，坐标变换是线性变换：
x'µ = α µυ x ν
狭义相对论只涉及惯性系变换，都是笛卡儿坐标。 张量也是笛卡儿张量。 广义相对论则不然。
⑤特殊张量： 4维二阶单位张量:用Kronecker符号表示，
δ µυ
1 (υ = µ ) µ ,υ = 1, 2, 3,4 = 0 (υ ≠ µ )
δ 只有一个,不依赖于坐标系,在任意两个坐标系 xµ 和x'µ中, µυ 有
′ = δ µω δ µω
洛仑兹变换的正交性可如下表示：α λµ α λυ = α µλ α υλ = δµυ 4维三阶完全反对称张量用 ε αβλ(Levi-Civita符号) 表示。
第六章 狭义相对论
§6.4 张量分析初步
§6.4
张量分析初步
1．复四维空间张量的定义 2．张量代数运算规则 3. 张量场和张量分析初步 4. 四维张量方程的洛仑兹协变性
相对论要求惯性系之间变换时，时间和空间必须一起变。为 了方便，引进了闵氏空间，是一个赝欧氏空间。 在闵氏空间中,复洛仑兹变换代表四维坐标转动,是么正变换。 要求所有物理量表示成四维张量的形式，所有方程表示成四 维协变式，叫洛仑兹协变式。 这协变式在惯性系之间转换时保持不变，满足相对性原理的 要求。 体现一切惯性系是等价的。 所谓相对论电动力学以及相对论力学的任务就是把一切物理 量表示成闵氏空间中的4-维张量，一切动力学方程改写成洛 仑兹协变的形式。 所需要的数学工具就是张量的运算。
r r 例如 E , H 是三维矢量，不是四维空间的矢量。
③4—张量（二阶）： 一个物理量 Tµν 有16个分量(µ,ν=1,2,3,4),当坐标转动时， 其变换规律与坐标乘积的变换规律相同，叫四维空间的 二阶张量，有42=16个分量
' ' x 坐标乘积： λ xµ = (α λν xν )(α µσ xσ ) = α λν α µσ xν xσ
2．张量代数运算规则
①两4维矢量外乘或外积(相当与三维叉乘): Aλ ,Bµ 的外积 为 A λ B µ ,是二阶反对称张量，符合二阶张量变换关系。 ②两4—矢量内乘(内积)(相当三维点乘)：A λ 和 B µ ，其内积 为 A µ B µ 。脚标相同，内积是标量，在坐标转动变换下保持 不变。 两矢量内乘，张量阶数相减（1-1=0阶）。 两矢量外乘，张量阶数相加（1+1=2阶）。 ③张量的和与差：两个r阶张量的和与差等于其对应分量的和 与差，阶数不变。 例如 a µυ 和 b λσ，其和与差为 Cµυ = aµυ ± bµυ，也是二阶。
∂φ′ ∂φ ∂φ ∂xµ = = ∂ x′ ∂ x′ ∂ x µ ∂ x′ υ υ υ
∂x µ
∂x′ υ
？
−1 由 ∆x'υ = α υµ ∆xµ ，有 α υµ ∆x 'υ = ∆x µ ，即 ∆xµ = α µυ ∆x′ υ
∂x µ = α µυ 代入上式，得 于是有 ∂x′ υ
∂φ′ ∂φ ∂φ = α µυ = α υµ ∂ x′ ∂x µ ∂x µ υ
其定义：
ε αβλ
0 = 1 − 1
当α = β或β = λ或α = λ时 当αβλ 为1, 2, 3,4的偶数次交换排列时 当αβλ 为1, 2, 3,4的奇数次交换排列时
4维四阶完全反对称单位张量 ε αβλσ 只有一个，不依赖坐 标系 ε αχλυ
= ε′ στθϕ
，其定义与三阶类似。
④两张量外乘（外积） 两个张量(r阶和s阶)外积是一个r+s阶张量,其分量是这两 个张量各分量之积。是升阶运算：(r+s)阶。例 Aµν 和 Bλστ 之积是五阶张量，其分量：Cµυλστ = A µυ B λστ ⑤张量的缩阶 一个阶数r≥2的张量，使其分量的两个指标相同，并对这 重复的指标求和，这样的运算称为缩阶(降阶：r-2阶)。 例如 A µν 使υ=μ得到 A µµ =A11 +A22 +A33+A44 ，这正是矩 阵的迹。一个二阶张量经缩阶后就成为一个标量；
⑥两个张量的内乘（内积） 将它们的外积对两个分属于不同张量的分量的指标进行缩 阶。 例如两矢量 A µ 和 B ν，先求其外积 A µ B ν ，通过缩阶得到 内积：Aµ Bµ =A1B1+A2B2+A3B3+A4B4，正是两矢量标积或点 乘。 又例如两个二阶张量 A µν 和 Bλτ ，先求其外积 A µν B λτ ， 分别进行缩阶运算。 可以有四种不同的内积如下：
又例如一个三阶张量 A µνλ 对前二个指标进行缩阶，得
Cλ = Aµµλ = A11λ + A22λ + A33λ + A44λ (λ=1,2,3,4共四个分量)
缩阶后变成一个矢量。
Aµνν ,其结果都成为一个 另外还有两种可能的缩阶：Aµνµ 、 矢量。
缩阶运算就是把任意两个指标变成一对哑标,对这哑标从1 到4求和。 r阶张量缩阶后得到一个（r-2）阶的张量（要r≥2）。 缩阶运算没有运算符号,一般不单独进行,而是与其它运算 一起运行。
r r
真标量和赝标量：当坐标反演时，其符号不变的标量叫真标 量，如三维空间电荷密度ρ等，要改变符号的标量叫赝标 r r r r 量，如极矢量 E 和轴矢量 B 的点积 E ⋅ B ,三个极矢量混合 r r r 积 A ⋅ (B × C) 等。 一般说，赝矢量和真矢量点乘出来的标量是赝标量。 真张量和赝张量：当坐标系反演时，张量的分量改变符号， 则是真张量；若分量不改变符号，则是赝张量如 ε αβλ 。 在乘积运算中按经验有如下结论：（a）两真张量或两赝张 量相乘之积是真张量；（b）一个真张量和一个赝张量相乘 之积是赝张量。
φ′(x′ µ ) = φ(x µ )
40＝1，只有个分量。 ②4-矢量：一个物理量有四个分量(μ=1,2,3,4)，当坐标 转动时其变换性质同坐标的变换性质相同叫四维(度)矢量也 叫一阶张量（分量的个数是41=4个）

x = α µν x ν
' µ
(坐标变换) α µν 是洛仑兹变换 (矢量变换)(μ,ν=1,2,3,4)
⑥赝张量： 坐标旋转时，坐标系类型保持不变，右手系仍是右手系。 当空间反演即三个坐标基矢同时变符号时，右手系改变为 左手系，左手系变为右手系。 真矢量和赝矢量：当坐标反演时，不改变方向的矢量称为 ；当坐标反演时，要改变方向的 r r r 矢量称为赝矢量(或轴矢量)。如力矩 L = r × F ，动量矩 r r r r r r r J = r × p ，线速度 υ = ω× r ，磁场 B 等。 一般说，两个矢量叉乘出来的矢量是赝矢量。 真矢量(或极矢量),如
A µν B λτ
使 µ = λ 并对其求和，得 A µν B µ τ = Dν τ 使 τ = µ 并对其求和，得 Aµν Bλµ = Dνλ 使 λ = ν 并对其求和，得 A µν B ν τ = D µ τ 使 τ = ν 并对其求和，得 A µν B λν = Dµλ 四种内积都是二阶张量。 两个二阶张量的内积仍是一个二阶张量. 对r阶和s阶张量求内积运算得到（r+s-2）阶张量。
本节是相对论的数学准备。 对于三维空间张量已经有一些概念，四维张量与三维张量 在数学上没有本质区别。 因此我们直接讲四维张量。