第2讲 绝对值
竞赛热点
绝对值定义：
绝对值性质：（1）非负性：︱a ︱≥0;(2) ︱a ·b ︱=︱a ︱·︱b ︱;(3)︱b a
︱=
b
a (
b ≠0);(4) ︱a ︱2=︱a 2︱= a 2
热门赛点：1.绝对值的化简2.绝对值的分类讨论3. 绝对值的非负性4. 绝对值方程5. 绝对值求最值。

解题示范
赛点1绝对值的化简
例1 （1）若﹣2≤a ≤0,化简：︱a ＋2︱＋︱a －2︱
(2)数a,b 在数轴上对应的点如图所示，试化简：︱a ＋b ︱＋ ︱b －a ︱＋︱b ︱－︱a －︱a ︱︱ 思考题
1.（1）已知m>4,化简:︱m －4︱＋︱7－2m ︱＋︱m 2－2m ＋1︱－︱m 2－2m －3︱
(2)a,b,c 的大小如图所示，求b
a b a --－
c
b c b --＋
a
c a c --＋
ac
ab ac ab --的值
赛点2绝对值的分类讨论
例2. 化简: ︱2x ＋1︱－︱x －3︱＋︱x －6︱ 思路：用零点分段法
思考题
2. 化简: ︱x ＋5︱＋︱2x －3︱
赛点3绝对值的非负性
例3已知2︱3a －2b ︱＋(4b-12)2=0,求41
a 12
b －(3a ＋
2
1b
a
＋4)的值
赛点4绝对值方程
例4解方程：︱x －︱2x ＋1︱︱=3 思路：先内部零点，再外部绝对值 思考题
3. 解方程：︱x －2︱＋︱2x ＋1︱=8
赛点5绝对值求最值
例5 求代数式︱x －1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱的最小值。

思路：规律是：︱x －a 1︱＋︱x －a 2︱＋…︱x －a n ︱的n 个绝对值的代数和，其最值求解的一般规律是：当n 为奇数时，取中间分界点；当n 为偶数时，取中间两个分界点x 的取值或中间两个分界点之间的任意实数。

思考题
5（1）求︱x ＋1︱＋︱x ＋2︱＋︱x ＋3︱＋︱x ＋4︱＋︱x ＋5︱的最
小值（2）求︱x －1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱＋︱x －4︱的最小值。

历届奥赛题链接
例1（希望杯竞赛题）︱x ＋1︱＋︱x －1︱的最小值是（ ） A.2 B. 0 C. 1 D.﹣1
例2（希望杯竞赛题）若︱a ＋b ＋1︱与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是（ ） A.a>b B a=b C a<b D a ≥b
例3.(2001年加拿大数学竞赛题)下列选项中，（ ）的解集如图所示
A. ︱x －4︱<3
B. ︱x －4︱>3
C. ︱x ＋4︱<3
D.︱x ＋4︱>3 例4（希望杯竞赛题）如果︱m －3︱＋（m ＋2）2=0,则方程3mx ＋1=x ＋n 的解是__________
例5（河南省竞赛题）已知y=︱x －b ︱＋︱x －20︱＋︱x －b －20︱，其中0<b<20,b ≤x ≤20,那么y 的最小值为___________
例6（希望杯竞赛题）已知(︱x ＋1︱＋︱x －2︱)(︱y －2︱＋︱y ＋1︱) (︱z －3︱＋︱z ＋1︱)=36,求x+2y+3z 的最大值和最小值 例7（第13届江苏省竞赛题）︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱的最小值是多少？
例8（1）（2006年“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知︱ab －2︱＋︱a －2︱=0.求
ab
1＋
)
1)(1(1++b a ＋
)
2)(2(1++b a ＋…＋
)
2006)(2006(1
++b a 的值。

（2）（希望杯竞赛题）设︱a －b ︱＋︱c －a ︱=1，求︱c －a ︱＋︱a －b ︱＋︱b －c ︱的值。

实战演练
1.(2004年四川省竞赛题)若x<-2,则y=︱1－︱x ＋1︱︱等于（ ） A.2+x B. -2-x C. x D.-x
2.（第15届希望杯竞赛题）有理数a,b,c 如图，则下列式子中一定成立的是（ ）A. a+b+c>0 B.︱a ＋b ︱< c C.︱a －c ︱=︱a ︱+c D. ︱b －c ︱>︱c －a ︱
3.(太原市竞赛题)0<a<1,-2<b<1,则1
1--a a －
2
2++b b +
b
a b a ++的值是（ ）
A.0
B. -1
C. -2
D. -3
4.(山东省竞赛题)如果a,b,c 是非零有理数，且a+b+c=0,那么
a
a +
b
b +
c
c +
abc
abc 的所有可能值为（ ）
A. 0
B. 1或-1
C. 2或-2
D. 0或-2
5.（第17届希望杯竞赛题）已知a,b,c 都是整数，m=︱a ＋b ︱＋︱b －c ︱＋︱a －c ︱,那么（ ）
A.m 一定是奇数
B.m 一定是偶数
C.仅当a,b,c 同偶或同奇时，m 是偶数。

D.m 的奇偶性不能确定
6.(04年重庆初中数学竞赛题)设m=x+︱x －1︱,则m 的最小值是（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
7.（第15届希望杯竞赛题）已知a=︱－2004︱＋15，则a 是（ ）
A.合数 B 质数 C 偶数 D 负数 8 （北京市竞赛题）化简︱
2003
12004
1-
︱＋︱
2002
12003
1-
︱＋︱
2001
12002
1-
︱＋︱
2004
12001
1-
︱=________
9.(北京市迎春杯竞赛题)已知︱a ︱=1, ︱b ︱=2, ︱c ︱=3,且a>b>c,那么a+b-c=________
10.（第16届希望杯竞赛题）如果︱a ︱=3, ︱b ︱=5,那么︱a+b ︱-︱a-b ︱的绝对值等于________
11(北京市第18届迎春杯竞赛题)代数式︱x ＋11︱＋︱x －12︱＋︱x-13︱的最小值为_____
12.(第14届希望杯竞赛题）a 与b 互为相反数，且︱a-b ︱=5
4
，那么
1
2
+++-ab a b ab a =_________
13.(全国初中数学联赛题)求满足︱a －b ︱＋ab=1的非负整数对（a,b ）的值。

14.解方程：︱x ＋4︱-︱x －2︱=x+1。