全等三角形的概念和性质（提高）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】（1）（4）（5）（6）；【解析】（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、（2014秋•盐城期中）如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD ﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．【答案与解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．举一反三：【变式】（2014春•吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C；提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C ．4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC ，∠BCD 的度数；（3）运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，∠A :∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:4【答案】D ；提示：设∠A＝3，∠ABC ＝5，∠BCA＝10，则3＋5＋10＝18x x x x x x x x x x x x x x x xx＝180°，＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2. 如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．25°3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100，A、B分别与D、E对应，且AB＝35，DF ＝30，则EF的长为（）A．35 B．30 C．45 D．555.（2014秋•红塔区期末）如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（）①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．6.如图，△ABE≌△ACD,AB＝AC, BE＝CD, ∠B＝50°,∠AEC＝120°，则∠DAC的度数为（）A.120°B.70 °C.60°D.50°二、填空题7. 如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△，交AC于点D，则.cm cm cmcm cm cm cm''A B C''A BAB'D =∠8. 如图，△ABC ≌△ADE ，如果AB ＝5，BC ＝7，AC ＝6，那么DE 的长是________.9. 如图，△ABC≌△ADE，则，AB ＝ ，∠E ＝∠ ；若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠BAC＝___________.10.（2014•梅列区质检）如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′=30°，则∠ACA ′的度数为__________．11. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______12. 如图,AC 、BD 相交于点O ，△AOB≌△COD，则AB 与CD 的位置关系是 .三、解答题13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，△ABC ≌△DFC ，你能判断DE 与AB 互相垂直吗？说出你的理由.cm cmcm14.（2014秋•无锡期中）如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC 的长．15.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设的度数为，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有或的代数式表示）（3）∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】 B ；【解析】①②③是正确的；2. 【答案】B ；【解析】∠EAC ＝∠BAD ＝180°－80°－30°－35°＝35°；3. 【答案】C ；【解析】只有（3）是正确的命题；4. 【答案】A ；【解析】AC ＝DF ＝30，EF ＝BC ＝100－35－30＝35；5. 【答案】C ；【解析】解：∵△ACE ≌△DFB ，∴AC=DB ，①正确；∠ECA=∠DBF ，∠A=∠D ，S △ACE=S △DFB ，⑤正确；∵AB+BC=CD+BC ，∴AB=CD ②正确；∵∠ECA=∠DBF ，∴BF ∥EC ，⑦正确；AED ∠x ADE y xy∠1=∠2，③正确；∵∠A=∠D ，∴AE ∥DF ，④正确．BC 与AE ，不是对应边，也没有办法证明二者相等，⑥不正确．故选C ．6. 【答案】B ；【解析】由全等三角形的性质，易得∠BAD ＝∠CAE ＝10°，∠BAC ＝80°，所以∠DAC ＝70°.二.填空题7. 【答案】35° ；【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以，，所以，180°－∠－∠＝180°－（∠ABC ＋∠）＝∠＝35°．8. 【答案】7；【解析】BC 与DE 是对应边；9．【答案】AD C 80°；【解析】∠BAC ＝∠DAE ＝120°－40°＝80°；10.【答案】30°；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=30°．故答案为：30°.11.【答案】40°；【解析】∠DEF ＝∠ABC ＝×180°＝40°； 12.【答案】平行；【解析】由全等三角形性质可知∠B ＝∠D ，所以AB ∥CD.三.解答题13.【解析】DE 与AB 互相垂直.∵△ABC ≌△DFC∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠CFD ，又∵∠ACB ＝90°∴∠B ＋∠A ＝90°，而∠AFE ＝∠CFD∴∠AFE ＋∠A ＝90°，即DE ⊥AB.14.【解析】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣30°﹣50°=100°，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ，∴EF ﹣CF=BC ﹣CF ，即EC=BF ，'B C BC =A B C=ABC ''∠∠AB D ='∠BB C 'A'B'C BB C 'BCB 'cm 2432++∵BF=2，∴EC=2．15.【解析】（1）△EAD ≌△，其中∠EAD ＝∠，；（2）∠1＝180°－2，∠2＝180°－2；（3）规律为：∠1＋∠2＝2∠A ．EA D 'EA D 'AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠x y。