3.2.3 指数函数与对数函数的关系知识点一：反函数1．已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是 A ．有且仅有一个实根 B ．至少有一个实根C ．至多有一个实根D ．0个，1个或1个以上根2．若函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，f(a)＝b ，ab≠0，则g(b)等于A ．aB ．a －1C ．bD ．b －13．若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数f －1(x)上一定存在点A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,0)D ．不能确定 4．已知函数y ＝2x －a 的反函数是y ＝bx ＋3，则a ＝__________，b ＝__________.5．函数y ＝3x(0<x≤2)的反函数的值域是__________． 6．下列关于反函数的说法中，正确的为__________．①二次函数一定有反函数 ②反比例函数一定有反函数 ③若函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)有公共点P ，则点P 一定在直线y ＝x 上 ④单调函数在其单调区间上一定有反函数知识点二：指数函数与对数函数的关系7．函数y ＝log 12x(x>2)的反函数是A ．y ＝2x(x<－1) B ．y ＝(12)x (x>－1)C ．y ＝2－x(x<－1) D ．y ＝(12)－x (x>－1)8．函数f(x)＝log a (3x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(0，23)D ．(23，0)9．已知对数函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1，x>0)满足f(a4)＝0，则函数f(x)的反函数f－1(x)＝__________.10．若函数f －1(x)为函数y ＝lg(x ＋1)的反函数，则f －1(x)的值域是__________．11．将函数y ＝3x －2的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线y ＝x 对称后所得图象的函数解析式为__________．能力点一：求反函数12．函数y ＝1＋log 12x 的反函数是A ．y ＝2x－1(x∈R ) B ．y ＝(12)x －1(x∈R )C ．y ＝21－x(x∈R ) D ．y ＝(12)x －1(x∈R )13．函数y ＝2－x＋1(x>0)的反函数是 A ．y ＝log 21x －1，x∈(1,2) B ．y ＝－log 21x －1，x∈(1,2) C ．y ＝log 21x －1，x∈(1,2] D ．y ＝－log 21x －1，x∈(1,2] 14．函数y ＝0.2－x＋1的反函数是A ．y ＝log 5x ＋1(x>0)B ．y ＝log x 5＋1(x>1)C ．y ＝log 5(x －1)(x>1)D ．y ＝log 5x －1(x>0)15．若函数y ＝x 2－2ax ＋3(x>2)有反函数，则a 的取值范围为__________．16．函数f(x)的图象与函数y ＝log 3x(x>0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.17．已知函数f(x)＝10x1＋10x ，试求它的反函数以及反函数的定义域、值域．能力点二：指数函数与对数函数关系的应用18．已知f(x)＝x －2，则f －1(8)等于A ．10B ．4C ．8D ．1219．已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f －1(x)，则函数y ＝f －1(1－x)的图象是20．函数y ＝f(x)的图象过(0,1)点，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数图象过点__________．21．如果点(1,2)既在函数f(x)＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数f －1(x)的图象上，则a ＝__________，b ＝__________.22．求下列函数的反函数：(1)y ＝x ＋1(x≥0)；(2)y ＝2x ＋3x －1(x∈R 且x≠1)．23．已知函数f(x)＝3x ，且f －1(18)＝a ＋2，g(x)＝3ax －4x的定义域为区间[0,1]． (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的值域．24．已知f(x)＝log a (a －a x)(a>1)． (1)求f(x)的定义域，值域； (2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)解不等式：f －1(x 2－2)>f(x)．答案与解析基础巩固1．C 2.A 3.B4．6 12 由y ＝2x －a ，得x ＝12y ＋12a ，互换x ，y 得y ＝12x ＋a 2.由反函数定义， 知12x ＋12a ＝bx ＋3， ∴12a ＝3，b ＝12. 从而a ＝6. 5．(0,2]6．②④ ①可举反例：y ＝x 2.③如函数f(x)＝7－3x ，f －1(x)＝7－x23(x≥0)，显然(2,1)与(1,2)既在函数y ＝f(x)图象上，又在反函数的图象上，但不在直线y ＝x 上，所以①③不正确．7．C8．C f(x)过定点(23，0)，∴反函数过点(0，23)．9．4x由f(a 4)＝0，得log a a 4＝0，∴a4＝1，a ＝4.∴f(x)＝log 4x.∴f －1(x)＝4x.10．(－1，＋∞) 由函数y ＝lg(x ＋1)，知其定义域为(－1，＋∞)． ∵f －1(x)是y ＝lg(x ＋1)的反函数， ∴f －1(x)的值域即y ＝lg(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)．11．y ＝log 3x 函数y ＝3x －2的图象向左平移2个单位后对应的解析式为y ＝3x，它关于直线y ＝x 对称后所得图象的解析式为y ＝log 3x.能力提升12．D13．A ∵x>0，∴0<2－x<1.∴y＝2－x＋1(x>0)的值域为(1,2)．由y ＝2－x＋1，可得x ＝－log 2(y －1)，∴y＝2－x＋1(x>0)的反函数为y ＝－log 2(x －1)＝log 21x －1(x∈(1,2))． 14．C 由y ＝0.2－x＋1，得y>1，x ＝－log 0.2(y －1)＝log 5(y －1)，∴y＝0.2－x＋1的反函数是y ＝log 5(x －1)(x>1)．15．a≤2 y ＝x 2－2ax ＋3的对称轴为x ＝a ，当满足条件a≤2时，y ＝x 2－2ax ＋3(x>2)是单调递增函数，此时存在反函数．16．3x17．解：由1＋10x≠0，可得x∈R .又f(x)＝10x1＋10x ＝1－110x＋1， ∴0<f(x)<1.∴函数f(x)的定义域为R ，值域为(0,1)． 由y ＝10x1＋10x ，得y ＋y·10x ＝10x，∴10x＝y 1－y .∴x＝lg y1－y.故f(x)的反函数为y ＝lgx1－x，定义域为(0,1)，值域为R . 18．A 19.C20．(1,4) ∵f(x)的图象过(0,1)， ∴f(－x)的图象也过(0,1)．∴g(x)＝f(4－x)的图象过点(4,1)． ∴g(x)的反函数图象过点(1,4)．21．－3 7 ∵点(1,2)在y ＝f －1(x)的图象上，∴(1,2)关于直线y ＝x 的对称点(2,1)应在y ＝f(x)的图象上． ∴f(2)＝1且f(1)＝2， 即⎩⎨⎧a ＋b ＝2，2a ＋b ＝1，解得a ＝－3，b ＝7.22．解：(1)∵y＝x ＋1，x≥0，∴y≥1且x ＝(y －1)2. ∴y＝x ＋1(x≥0)的反函数为y ＝(x －1)2(x∈[1，＋∞))． (2)∵y＝2x ＋3x －1，∴y＝2＋5x －1.∴y≠2且x ＝y ＋3y －2.∴y＝2x ＋3x －1的反函数为y ＝x ＋3x －2(x∈(－∞，2)∪(2，＋∞))． 拓展探究23．解：(1)∵f(x)＝3x，且f －1(18)＝a ＋2，∴f(a＋2)＝3a ＋2＝18. ∴3a＝2.∵g(x)＝3ax －4x ＝(3a )x －4x，∴g(x)＝2x －4x(0≤x≤1)．(2)令t ＝2x(0≤x≤1)， ∴t∈[1,2]．则g(x)＝y ＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴当t ＝1，即x ＝0时，g(x)max ＝0；当t ＝2，即x ＝1时，g(x)min ＝－2. 故g(x)的值域为[－2,0]．24．解：(1)为使函数有意义，需满足a －a x >0，即a x<a. 又a>1，∴x<1，故函数的定义域为(－∞，1)．又log a (a －a x)<log a a ＝1，∴f(x)<1，即函数的值域为(－∞，1)． (2)设x 1<x 2<1，则Δx ＝x 2－x 1>0. ∵a>1，∴ax 1<ax 2<a ，－ax 1>－ax 2. ∴a－ax 1>a －ax 2>0. ∴0<a －ax 2a －ax 1<1.Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝log a (a －ax 2)－log a (a －ax 1) ＝log a a －ax 2a －ax 1<log a 1＝0，∴Δy<0，即f(x 2)<f(x 1)．∴函数y ＝log a (a －a x)在(－∞，1)上是减函数．(3)设y ＝log a (a －a x)，则a y ＝a －a x， ∴a x ＝a －a y，两边取以a 为底的对数．∴x＝log a (a －a y)．∴函数f(x)的反函数为f －1(x)＝log a (a －a x)．由f －1(x 2－2)>f(x)，得log a(a－ax2－2)>log a(a－a x)．∵a>1，∴a－ax2－2>a－a x，即ax2－2<a x.∴x2－2<x，解得－1<x<2.又x2－2<1，∴－3<x<3，结合x<1.∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．。