a1 f (0)
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f
( n)
( x ) n ! an ;
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成幂级数
m( m 1) 2 n m(m 1) (m n 1) n 2 x (1 x) 1 1 m xx x x x ( 1 x 1 ) 2! n! 1 x
m1
目录 上页 下页 返回 结束
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 以唯一性为依托，将所给函数展开成 幂级数. 例4 将函数
n
目录 上页 下页 返回 结束
例1 将函数
展开成 x 的幂级数.
解 f ( n ) ( x) e x , f ( n ) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
m 1 (m 1) (m n 1) n 1 F ( x) m 1 x x 1 (n 1) ! (1 x) F ( x) mF ( x), F (0) 1 推导 x F ( x) x m 0 F ( x) d x 0 1 x d x ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
解 展开成 x 的幂级数.
因为 1 2 n n 1 x x (1) x ( 1 x 1 ) 1 x
把 x 换成 x 2 , 得 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x
( 1 x 1 )
(
2 n ( x 1 ) ( x 1 ) x 1 n (1) 1 2 n 2 2 2
x 1 1 2 x 1 2 ) x 1 1 4
1 8

n
(1)
n 0


1 2
n2

1 2
2n 3
( x 1) n
( 1 x 3 )
例5 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为 利用此题可得
目录 上页 下页 返回 结束
例6 将
展成
的幂级数.
解
π sin x sin π ( x ) 4 4
目录 上页 下页 返回 结束
1 解 f ( x) (1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x n ( 1 ) ln(1 x) (1) n x n d x x n 1 , 1 1 x x 1 1 n 0 n 0 n 1 0
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的 二项式定理.
目录 上页 下页 返回 结束
1 ,1 , 对应 m 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1 3 3 1 3 5 4 x 1 x 1 x x x 2 4 2 246 2 4 6 8 ( 1 x 1) 1 3 2 1 3 5 3 1 3 5 7 4 1 1 x x x 1 x 2 4 2 246 2 4 6 8 1 x ( 1 x 1) 1 n n 2 3 ( 1 ) x 1 x x x ( 1 x 1) 1 x
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 1 2 1 n x e 1 x x x , 2! n!
x ( , )
f ( n ) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) , m(m 1) 2 于是得 级数 1 mx x 2! m(m 1) (m n 1) n x n! an n 1 由于 R lim 1 lim n an 1 n m n
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
目录 上页 下页 返回 结束
定理1
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 . 证明
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
目录 上页 下页 返回 结束
例3 将函数
为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
n
x U ( x0 )
目录 上页 下页 返回 结束
定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
a0 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 π 1 π 2 1 π 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
目录 上页 下页 返回 结束
例7
将
展成 x－1 的幂级数.
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 解 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 2 x 1 4
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x) (n 1) ! 称为 拉格朗日余项 . f
目录 上页 下页 返回 结束
( n 1)
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的 泰勒级数 .
π cos( x π ) sin( x ) 4 4
π π π sin π cos( x ) cos sin( x ) 4 4 4 4

1 2


1 π 3 1 π 5 π ( x ) ( x ) ( x ) 3! 4 5! 4 4
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x , 2! 3! n!
目录 上页 下页 返回 结束
例2 将
解 f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
n 2k 0, (0) (1) k , n 2 k 1
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 lim Rn ( x) 0, 前者无此要求.
n
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
2. 如何求
的幂级数 ?
1 1 1 1 n 1 提示: y cos 2 x (1) 2 2 2 2 n 0 ( 2n) !
F ( x) (1 x) m
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
m(m 1) 2 x (1 x) 1 m x 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
m
称为 二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
n 1 4 (1) n x 2n , 2 n 1 ( 2n) !
x ( , )
f ( n ) ( x0 ) f ( x) ( x x0 ) n , x U ( x0 ) n! n 0
令 S n 1 ( x)
k 0

n

n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n 1 1 1 ( 1 ) ln(1 x) x x 2 x 3 x 4 x n 1 2 3 n 1 4 x (1, 1]