(-1)n
1
(x)n
n0 n! 3
1 x 1(x)2 (1)n 1(x)n
3 2! 3
n! 3
( x )
例 5将函 f(x) 数 x2xx2展x的 成幂 . 级数
解： f (x) x2 xx2（x2x)(x1) 1( 1 2 )1( 1 1 ) 3 x1 x2 3 x1 1x 2
1 ( 1 )nxn (-1x1 )
(-1 x 1)
(9)
1 1 x2 x4 (1)n1x2n2 1 x2
(-1 x 1)
(10)
将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：
ln(1 x) x 1 x2 1x3 (1)n1 xn
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1x5 (1)n1 x2n1
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项 Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂级数 就是函f(数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级数
sixnxx3x5(1)n1 x2n1
3! 5!
(2n1)!
( x )
(7)
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数 运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量 代换等，将所给函数展开成幂级数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(8)
分别令q=−x、−x2有：
1 1 x x2 (1)n1xn1 1 x
第四节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称
幂级数 f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n 为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
f( 0 ) f'( 0 )x ) ( f''( 0 )(x )2 f( n )( 0 )(x )n (2)
lime|x| |x|n1 n (n1)!
e|x|是有限数，
而| x|n1 是收敛0(n1)!
n l i m (ne |x1 |)|!x|n10，n l即 i m R n： 0
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6) 2 ! n !
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
(12)
当 x1时，它成 ( 交 1)n1错 1级 收数 敛；
n1
2n1
当 x-1时，它成 交 (1)n错 1 级 收.数 敛
n1 2n1
例3 将函数cosx展开成x的幂级数.
解 (： sx )i 'n co x ,利 s 2 用 的例 展 (7 )得 开式
解： f (n)(x) ex,
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！
1 l lim| an1| lim(n1)!0
n an n 1 n!
收敛半径 R 1 , l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
n l i m |R n(x)|n l i m |(n ex 1)x !n1|
cosx(sinx)' [ (-1)n x2n1 ]'
n1 (2n1)!
(-1)n x2n
n1 (2n)!
1x2 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
(x)
(12)
例 4将函 e3 x数 展开 x的 成幂.级数
解： 1 的 利 展 (用 6 )， 开 x 换 例 将 式 x 成 有： 3
2 !
n !
称之为f(x)的麦克劳林级数.
定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间 (a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间
(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为： f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
n l i m Rn(x)0 (5)
二、函数展开成幂级数
将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的 基本法，其一般步骤为：
(a求 ) 出 f(x)的各阶导 : f'(数 x),f"(x),f(n)(x),; 若函f数 (x)的某阶导数不f存 (x)不 在能 ，展 则开 成幂级数；
(b求 ) 出函数及各阶 x导 0处数的在:值 f(0),f'(0),f"(0),, f (n)(0),;
1x n 0
1-1xn 0(2 x)n
2
(-2x2)
根据幂级数的性质有：
f (x)
1
[
(1)
n
x
n
( x)n ]
3 n0
n0 2
1
[( 1) n
3n0
1 2n
]xn
收敛( 区 1x 间 1 ) ( 为 2x2) 即 ( 1 ： x1 )
例 6将lnx展开 x成 1的幂级数，区 并.间 指出收
解： (1)可 由 1 知 式：
xx3 x5 (1)k x2k1
3! 5!
(2k1)!
l lim| an1|lim| (2k1)!|0 n an n (2k1)!
收敛半 径 ， 收 为敛区(间 ， 为 )
对于任何有限的数x、有:
sin[ (n 1)π ]
lim
n
|
Rn
(
x)
|
lim
n
|
2 xn1 | (n 1)!
lim | xn1 | 0 n (n 1)!
例2 将函数sinx展成x的幂级数.
解： f (n)(x) sin(x nπ) 2
f (0) 0, f '(0) 1,
f "(0) 0,
f '''(0) 1, ,
f (2k)(0) 0,
f (2k1)(0) (1)k ,
f
(n)(0)xn
(1)k
x2k1
n0 n!
n0 (2k1)!
(3)
其中：R n(x)f((n n 1)1 ()！ )(xx0)n1(在 x0与 x之)(间 4)
公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格
朗日余项.
定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导 数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条 件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 n 时的极限为零， 即：