２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
3的说明 因为,如果设x同时是A的属于特征值1 ,2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x
的特征向量，则向量组
11 ,12 , ,1r1 ;21,22 ,
线性无关。
,2r2 ;
; s1, s2 ,
, srs
定理 是n 阶方阵A的k 重特征值 ，V是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数 dim (V) k , 即几何重数不超过代数重数。
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
称为A 的特征多项式。 注： 在复数域中，特征值有n个（包括重数）
在一般数域中不然。
当 1 4 时 ,由 4E A x 0
4 3 1
4
1
3
x1 x2
0 0
,
即 1 1
解得 x1 x2 ,
1 1
x1 x2
0 0
,
所以对应的特征向量可 取为
p 1. 2 1
例２ 解
求矩阵A
征向量.
二、特征值和特征向量的性质
1. 设n 阶方阵A的特征值为：
1 , 2 , , n
则
(1) 1 2 n a11 a22 ann;
(2) 12 n A .
称为矩阵的迹
2. A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。
3. 若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量，则
例 判断
4 6 0
A
3 3
5 6
0 1
能否对角化？若能对角化，求出矩阵P，使
P 1 AP 为对角阵，并求 An
解
4 6 0
E A 3 5 0 12 2
3 6 1
所以A的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
当 1 2 1时， 由 E A x 0
33xx1 166xx2 200 3 x1 6 x2 0
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0, 即 x j pj 0 j 1,2,,m.但 pj 0,故 x j 0 j 1,2,,m.
所以向量组 p1, p2 ,, pm 线性无关.
推论
设 1, 2 , , s 是n 阶方阵A的不同的特征值，
i1 ,i 2 , ,iri 是A对应于i 的线性无关
0
p
1
0 1
,
所以k p1(k 0)是对应于 1 2的全部特征值.
当 2 3 1 时 ,由
E A x 0
2 1 0 1 0 1
而
E
A
4 1
2 0
0 1
~
0 0
1 0
2 0
,
解得 基础解系：
1
p
2
2 1
,
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
一特征值与特征向量的概念
一、特征值与特征向量的概念 定义： 设A 是n阶矩阵，如果数 与n维非零列向量 x使得
Ax x
称 为A的一个特征值， x 为对应于特征值 的特征向量。
注：
1. 特征值向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n 阶方阵A 的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的值 ，
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 (1) A 2 2 4
2 4 2
2 1 2 (2)A 5 3 3
1 0 2
解
1 2
(1) 由 EA 2 2
2 4
22 7
2 4
1
A
1
2
2
习题 ｎ阶矩阵Ａ满足 A2 3 A 2E 0
证明：Ａ能相似于对角矩阵。
实对称矩阵的对角化
正交矩阵定义：
若n阶方阵A满足 AT A E,则称A为 正交矩阵 .
正交矩阵的性质：
1 A1 AT ;
(2) 正交矩阵的行向量与列向量都是 标准正交向量组
证明见下页
(3) 若 A 、B 都是正交矩阵， 则AT, A-1, AB 也是正交矩阵
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
2 0 0
P 1 AP
0
1 0 .
0 0 1
即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置
要相互对应．
例 设矩阵
1 0 0 0
A
a
1
0
0
2 b 2 0
2
3
c
2
问a,b,c为何值时A 相似于对角阵？
并求出它相似的对角阵
解 显然A的特征值为1，2 并且都是2重特征值 ，因此 对应于=1 ，与=2都应有两个线性无关的特征向量。
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E ) P1
P (B) P1.
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
则 Ak P k P1, ( A) P () P1.
对于对角矩阵 , 有
k 1
k
k 2
,
(1)
k n
(
)
(1)
,
利用上述结论可以 很方便地计算矩阵
1
T 1
2
T 1
n
T 1
1
T 2
2
T 2
n
T 2
1
2
T 1
,
T 2
,,
T n
E
n
1
T n
2
T n
E
n
T n
i
T j
ij
1, 当 i
0,
当i
j; j
i, j 1,2,,n
例 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
2
1
9 8
8 9 1
(1). k 是矩阵 kA 的特征值 (2). m 是矩阵Am的特征值
(3).设 g( x) a0 xm a1 xm1 am
则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值
(4).当A可逆时， 1是矩阵 A1的特征值
A 为A的伴随矩阵A*的特征值
定理
设 1, 2 , , m 是方阵A的特征值，
p1 , p2 , , pm
3. 是A 的特征值，则
E A 0
4. 的特征向量的全体加 零向量 构成 Rn 的线性
子空间，记 V ,其维数为 n-r(E- A)
E A 0
a11
a21
a12
a22
an1
an2
a1n a2n 0
ann
这是一个n 次方程，称为矩阵A的特征方程
记 f ( ) E A 它是一个n次多项式，
(1) A 的多项式 ( A).
二、矩阵相似于对角阵的条件 对n阶方阵A，若可找到可逆矩阵P，使得
p1 Ap 为对角阵，称为把矩阵A对角化。
定理 n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化） 的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
推论 若A有n个不同的特征值，则 A 可对角化。 定理证明：
假设存在可逆阵 P,使P 1 AP 为对角阵,
1 4
1 3
1 0
1 1
0 0
的特征值和特征向量
.
2
0
E A 4 3 0 ( 2)( 1)2,
1 0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 1 2 时 ,由
即
21
4 1
1 23
0
2E A x 0
0 x1
2
0
2
x2 x3
0
解得 基础解系：
类推之，有
1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2,,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
pm
1
1
2
m
m2 1
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列
式,当各i不相等时 , 该行列式不等于 0, 从而该矩阵
(4) 若 A 是正交矩阵, 则
A 1
(5) 正交矩阵的特征值只能为 1
下面给出列向量两两正交的证明
a11
A AT
E
a21
a12
a22
a1n a11 a2n a12
a21
a22
an1 an2
E
an1 an2 ann a1n a2n ann
把矩阵A按行分块
1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
思考题
设4阶方阵A满足条件 : det3E A 0,
AAT 2E,det A 0,求A的一个特征值.
矩阵的对角化
相似矩阵的定义
定义
矩阵A,B 都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似， 记 A~B
即 A 有3个线性无关的特征向量，所以A可对交化。
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1 E A 5 3
1 0
2
3 13
2
所以A的特征值为 1 2 3 1.