2005山东卷试题及答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 )(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的（1）{}n a 是首顶11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 （A ）667 (B) 668 (C) 669 (D)670 （2）下列大小关系正确的是（A ）30.440.43log 0.3<< (B)30.440.4log 0.33<< (C) 30.44log 0.30.43<< (D)0.434log 0.330.4<<（3）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是（A ） (B) (C) (D) （4）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π（5）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x-=+（6）如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-（7）函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ） 1 (B) 1,-(C) (D) 1 （8）已知向量,a b ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的（A ） Ａ、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D (D)A 、C 、D （9）设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（A (B)6R π (C)56R π(D) 23R π （10）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（A ）310 (B) 112 (C) 12 (D)1112（11）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则AB 是)A B U =U （C（A ） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上(13) 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人, 40岁及以上的有140人,为了普通话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是__________(14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e =(15)设,x y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______(16)已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且825m n +=，求cos()28θπ+的值(18) （本小题满分12分）袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止ξ表示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求取球2次终止的概率； （Ⅲ）求甲取到白球的概率(19) （本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,m n R ∈0m <.（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式; （Ⅱ）求()f x 的单调区间；(20) （本小题满分12分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离(21) （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且521++=+n S S n n *)(N n ∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '(22) （本小题满分14分）已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4παβ+=时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标12005山东卷试题及答案参考答案（13）50 （14 （15）()2,3） （16）③④ (17)（本小题满分12分）考查知识点：（三角和向量相结合） 解法一：(cos sin sin ),m n θθθθ+=-+(cos m n θ+====由已知825m n +=，得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二：2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n m n =++⋅222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=，得 4|cos()|285θπ+=∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<，∴ cos()028θπ+<∴ cos()285θπ+=(18) （本小题满分12分）（考查知识点：概率及分布列） 解：（１）设袋中原有n 个白球，由题意知：2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得3(n =舍去2)n =-，即袋中原有３个白球（Ⅱ）记“取球2次终止”的事件为A. 43()767p A ⨯==⨯（Ⅲ）记“甲取到白球”的事件为B ，因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，则 ()p B P =（“1ξ=”，或“3ξ=”，或“5ξ=”）. 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥，所以 361()(1)(3)(5)7353535P B P P P ξξξ==+=+==++=(19) （本小题满分12分）（考查知识点：函数结合导数） （Ⅰ）解：2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦1当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表: 由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增,在(1,)+∞单调递减02当0m >时,有211m<+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表:由上表知,当0m >时,()fx 在(,1)-∞单调递增,在(1,1)m +单调递减,在(1,)m++∞单调递增(20) （本小题满分12分）(考查知识点：立体几何) 解法一：（向量法）在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ． 又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,3AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D （Ⅰ）13(,,0),(1,0,1)22AE BF ==-cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量．(2,3BD =-由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩0203x x x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴3cos ,15m n m n m n <>===⨯即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为（Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB nAB AB n =||||5AB n n ===所以点A 到平面BDF 5解法二：(几何法)（Ⅰ）连结11B D ，过F 作11B D 的垂线，垂足为K ，∵1BB 与两底面ABCD ，1111A B C D 都垂直，∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ，由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥， 从而 BKF ∆为Rt1在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中，由11111A D FK B F B D =得111111122ADAB AD B FFK B D BD====又BF =∴cos FK BFK BK <== ∴异面直线BF 与AE 所成的角为4（Ⅱ）由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=，在平面1AA B 中，延长BF 与1AA ；交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =， ∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点 即122SA A A AB ===，∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合易得12AG AF SB ===Rt BAS ∆中，AD =∴tan 3AD AGD AG <=== ∴arctan3AGD <= 即平面BDF 于平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小为arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD 是平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角所在的平面B 1∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ∆中，由Ａ作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH DF=AD AF ，得2AD AFAH DF===所以点A 到平面BDF (21) （本小题满分12分）（考查知识点:数列）解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时,21215S S =++，所以2112a a a +=+又15a =所以211a =，从而(21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈ 又115,10a a =+≠，从而1121n n a a ++=+,即数列{}1n a +是以()116a +=为首项，2为公比的等比数列；（II ）由（I ）知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+.(22) （本小题满分14分）（考查知识点:圆锥曲线）B 1解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=，故0,4παβ<<，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π 从而设AB 方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pb y y y y k k +=⋅=① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：212p b pk=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--= 所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.。