（2）渐变流 渐变流是近似的均匀流，均匀流的性质可近似地 用到渐变流中，即渐变流过流断面上的压强分布满 足流体静力学规律。
渐变流没有严格的定义，流动能否按渐变流处理， 关键是看得到的结果是否满足工程精度要求。
v2 A2 v1A1 v3 A3
v1
Q1
v Q3 3
v2
Q2
v1
Q1
v2
Q2
Q3
v3
核心问题2： 恒定元流能量方程
功能原理
理想不可压缩流体恒定流动模型
Z1

p1


u12 2g


Z2

p2


u22 2g
上式为理想不可压缩流体恒定元流能量方程， 或称为恒定元流伯努利方程。
理想不可压缩流体恒定总流能量方程：
z
的自由面方程。
x
显然，自由面是过坐标原点的一
O
个倾斜面，与水平面夹角为 ， 且 tan a / g。
y
液面下任一点与自由面的铅直距离：
z
a h g x0 z0
p

pa
(
a g
x
z)

pa
h
x
h x0 z0
A(x0, y0, z0 )

a
习题3-15：一开口圆筒形容器绕其立轴等速旋转, 已知容器半 径R=150mm, 高度H=500mm, 静止时液面高度h=300mm,问当 转速n为多少转时,水面刚好到达容器的上边缘。
§3.7 过流断面的压强分布
一、问题的提出
元流方程 + 连续性方程
压强沿流线的分布
实际流体总流的能量方程：
(Z1

p1


u12 ) dQ
2g

(Z2

p2


u22 2g
hw ) dQ
(1) 压强在过流断面上的分布问题； (2) 流速的变化问题；
二 、均匀流与非均匀流
渐变流可以近似 按均匀流处理
2g

(Z2

p2


u22 2g
hw ) dQ
核心问题3、 恒定元流能量方程中各项的物理含义
Z 表示单位重量流体所具有的势能；
p / 表示单位重量流体的压能；
u2 / 2g 表示单位重量流体所具有的动能。
势能、压能和动能之和称为机械能
伯努利方程可叙述为（物理意义）：理想不可压 缩流体在重力作用下流动时，沿同一流线上各点的 单位重量流体所具有的位能、压能和动能之和保持 不变，即机械能是一常数，但位能、压能和动能三 种能量之间可以相互转换。
穷究于理，成就与工
流体力学
作业点评
习题3-13: 运送液体的槽车以匀加速a做直线运动，槽 车静止时，车内液体的高度为H。(2) 求槽车在等加速 运动过程中的自由面方程与压力分布；(1)证明距离自 由面以下垂直距离h处的压力可表示为p=p0+ρgh（p0 为自由面的压力）。
【解】单位质量重力在各轴向的分量为：


Q vA
适用条件： 恒定、不可压缩的总流，且没有支流与
汇流。
流速之比与面积之比的关系：
11
1
v1 : v2 : : v A1 : A2 : : A
分流时有： Q1 Q2 Q3
v1A1 v2 A2 v3 A3
合流时有： Q2 Q1 Q3
p pa (ax gz)
pa

(
a g
x

z)
液面下任一点处相对压强：
p

p
pa

(
a g
x
z)
自由面绝对压强： p pa
自由面相对压强：
p

p
pa

0

(
a g
x
z)
( a x z) 0
g
z a x g
该式即为匀加速直线运动时液体
z
H h 2R2
2g
2 (H h)g
R
Hh
x
h O
h ?
R
H h 2(H h)
抛物线所围的体积等于同 高圆柱体体积的一半。

1 2
l
1 2
l
内容回顾
核心问题1： 恒定总流的连续性方程
质量守恒 连续性方程
Qv11A1
Q2 = v2 A2
(Z1

p1


u12 ) dQ
2g

(Z2

p2


u22 ) dQ
2g
实际液体恒定元流的能量方程：
Z1

p1


u12 2g

Z2

p2


u22 2g
hw
h表w示单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损
失的能量，称为水头损失。
实际流体恒定总流能量方程：
(Z1

p1


u12 ) dQ
流体流动
均匀流: 质点流速的大小和方向均不变
绝对
渐变流
非均匀流
相对
急变流
质点流速大小不变
流体流动 质点流速方向不变
不存在 直线惯性力 不存在 离心惯性力
均匀流受力特点
重力 压力
静止流体
粘滞阻力
均匀流
渐变流
均匀流 急变流 均匀流
三、过流断面上的压强分布 （1）均匀流 压强分布沿过流断面服从流体静力学规律。
核心问题5、 动力学三大方程
动力学三大方程
质
量
守
三
恒
大
能
守
量
恒
守 恒
定
律
动 量
守
恒
连
续
方
程
恒
定
能 量 方 程
流 三 大
方
动 量
程
方
程
第三章 一元流体动力学基础
问题1、过流断面的压强分布 问题2、恒定总流能量方程 学习要求：理解并熟记恒定总流能量方程
学习进程
静力学→[相对平衡] →动力学
恒定元流能量方程 恒定总流能量方程
代入单位质量力的合力，有： dp (adx gdz)
对上式积分得：
p (ax gz) C
积分常数 C 的求法如下：
边界条件：在坐标原点处，x = z =0，p = pa
将该边界条件代入 p (ax gz) C ，得：C pa
将C pa 回代上式，得液面以下任一点处绝对压强：
z
x
X1 0 Y1 0 Z1 g
H
a
单位质量牵引惯性力在各轴向的分量为：
X2 a Y2 0 Z2 0
质点所受质量力为重力与牵引惯性力之合，即：
X X1 X2 a
Y Y1 Y2 0 Z Z 1Z2 g
根据流体平衡微分方程的综合式：
dp (Xdx Ydy Zdz)
核心问题4、 恒定元流能量方程中各项的几何含义 Z 表示单位重量流体的位置水头；
p / 表示单位重量流体的压强水头；
u2 / 2g 表示单位重量流体的速度水头。
位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头
伯努利方程可叙述为（几何意义）：理想不可压缩 流体在重力作用下流动时，沿同一流线上各点的单 位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水 头之和保持不变，即总水头是一常数。