高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a+b =0向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+r r r 。
）零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r。
（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。
其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.已知,a b r r均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么|3|a b +u u r r ＝_____（答：13）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ．br arCBAa b C C -=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r．【例题】（1）①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____ （答：①AD u u u r ；②CB uu u r ；③0r ）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r＝_____（答：）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr．①a a λλ=r r ；②当0λ>时，a λr的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）；5、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。
【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r，则x ＝______（答：4）；6、向量垂直：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r12120x x y y ⇔+=.【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m =（答：32）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r，则m u r 的坐标是________（答：(,)(,)b a b a --或）7、平面向量的数量积： ⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤oo r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r与b r 同向时，a b a b ⋅=r r r r ；当a r与b r 反向时，a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r 或a a a =⋅r r r ．③a b a b ⋅≤r r r r ．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ⋅=+rr ．若(),a x y =r，则222a x y =+r ，或22a x y =+r ．设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.则a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2＝ x 2y 1.设a r、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，则121222221122cos a ba b x y x y θ⋅==++r r r r ；（注||||||a b a b •≤r r r r ） 【例题】（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r rr u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4π，则k 等于____ （答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r等于____ ）； （4）已知,a b r r是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____（答：30o ）（5）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（6）已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量、的夹角； （答：150°）；8、在上的投影：即||cos b θr，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______ （答：512)平面向量高考经典试题一、选择题1．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，则a r 与b rA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．43、若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅r r r r=______；4、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-5、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B. EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C. EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D. EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r6、已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，二、填空题1、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．2、若向量a b r r ，的夹角为ο60，1a b ==r r ，则()a ab -=r r r g ． 3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =u u u r u u u rg．三、解答题：1、已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =g ，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值2、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =u u u r u u u r g，且9a b +=，求c ．3、在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．4、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．5、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．答案 选择题1、A. 已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，30300a b ⋅=-+=r r ，则a r 与b r 垂直。