计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var (Y )
例5.3答案
(1) a30 at fT (t )dt
0 70 70
1 dt 1 1 100 x s( x) e 0 100t w x 100 x 100 s( x t ) 100 x t s( x t ) 1 t px x t t px s ( x) 100 x s ( x) 100 x
例5.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
0.06
0.54
例5.3

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
连续生存年金的定义

在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和

连续生存年金的种类


连续生存年金精算现值的估计方法


终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
a30:30
1 A30:30


1 0.35 13.01 0.05



1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )



Var (aT )
1

2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——现时（当期）支付技巧

步骤一：计算存活时间N所支付的当期年金 的现值 N

分类



生存年金与确定性年金的关系

确定性年金

支付期数确定的年金（利息理 论中所讲的年金）

生存年金与确定性年金的联 系

an , an , an
都是间隔一段时间支付一次的 系列付款
a x , a x , ax

生存年金与确定性年金的区 别

确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定 （以被保险人生存为条件）
1 n t E x t
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ex t
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
例5.1.1和5.1.2


某人留有遗书，其儿子年满21岁时可获得5万元 遗产。若其子现年12岁，利用书后的所附的生命 表（非养老金业务男表）求其子所得遗产的现值 i=0.06。 利用附录的生命表及年利率i=0.06，计算30岁的 人缴纳5000元在65岁时的精算现值。
0
例5.2答案
（2）Ax e 0.06t 0.04e 0.04t 0.4
0 2
Ax e 0.12t 0.04e 0.04t 0.25
0

Var[aT ]
1

2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
1 (0.25 0.16) 25 0.062
Var[aT ] 5

ax

1 vt
0


t p x x t dt
0.04 (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 0.06 0

当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
ax v t px dt e
eLeabharlann dt e0.1t dt 10

步骤一：计算到死亡发 生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和
Y aT v dt
t 0
0
T
1 vT

ax E (aT ) aT fT (t )dt

步骤二：计算这个年金 现值关于时间积分所得 的年金期望值，即终身 连续生存年金精算现值，


1 v
t t
0

相关公式及意义
(1) n Ex 1v n n px lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex Ex n Ex
t
(3) n Ex t Ex n t Ex t
px x t dt

Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
vt t px x t dt
0

相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0

t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
延期连续生存年金

定义: 种类

延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金 养老金

常用领域

延期连续年金精算现值
险种
延期m年 终身生存年金
m
延期m年 n年定期生存年金
mn
精算现 值估计
ax a x a x:m m Ex ax m 1
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1
0 0 70 70
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30


1 0.277 14.458 0.05
例5.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
1 1 e 7 dt 0.1427269 70 70 0.1
(1 Ax： ) n
1 ax： A x： n n
（2）Var (Y ) Var ( 1 zt

)
1
2
2
Var ( zt )
Var (aT )
1

[ 2Ax:n ( Ax:n ) 2 ]
例5.4（例5.3续）

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
v

步骤二：计算该当期年金现值按照可能支 付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (v N ) v t t p x dt
0
例5.2

在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 的假定下，求
（1） ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过
ax
的概率。
例5.2答案

综合支付技巧

离散生存年金与连续生存年金的关系


离散生存年金的分类

初付终身生存年金

当期支付技巧
k
1 ax k E x v k p x lx k 0 k 0
70 70
30
a30 v t p30 dt e 0.05t
t 30 30
70 t dt 1.45 70
or a 30 30 A30:30 A30


0.35 0.277 1.45 0.05
第三节
离散生存年金
简介

离散生存年金定义：

在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次 年金的保险。 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
Var ( Z ) 2A30 ( A30 ) 2 0.1427269 0.2772 0.066 1 Z Var ( Z ) 0.066 Var (Y ) Var 26.4 2 0.052
定期连续生存年金精算现值估计

综合支付技巧
aT Y a n
x
x
a30:30 at fT (t )dt a30 30 p30 or a30:30 v t t p30 dt e 0.05t
0 0 30 30
30
1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 dt 13.01 0 . 05 70 70 0

( Ax:m Ax )

( Ax:m Ax:m n )
例5.5（例5.3,5.4续）

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30

计算：30年定期生存年金精算现值及方差
30
a30
例5. 5答案
30
a30 a30 a30:30 14.458 13.01 1.45 or
ax:n , ax:n , ax:n
生存年金的用途

被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：

养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险