高三第二次单元过关考试理 科 数 学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13B.12C.16D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.36. 知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且等于则角B b a A ,1,3,3===πA.2π B.6π C.65π D.6π或65π7. 直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为A.55B.21 C.552 D.32 8.若实数11.ea dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-9. 函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈- 的图象可能是下列图象中的10. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2111. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A．2-B．2-CD．12已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1),1,(),,(N n n n b a a c n n n n ∈+==+。
下列命题中真命题是A. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*B. {}是等比数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀C. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n ⊥∈∀*D. {}是等差数列则数列成立总有若n n n a ，b c N n //*∈∀第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.） 13. 已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm 42+的最小值为 .14.已知F 是抛物线2y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，3MF NF +=，则线段MN 的中点到x 轴的距离为__________.15. 圆C ：022222=--++y x y x 的圆心到直线01443=++y x 的距离是_______________. 16. 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示，给出关于()f x 的下列命题：①函数()2y f x x ==在时，取极小值 ②函数()[]0,1f x 在是减函数，在[]1,2是增函数，③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点 ④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且s i n s i n s i n 2s i n a A b B c C a B+=+（I ）求角C ；（II 3cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增数列，且满足1016·6253=+=a ，a a a 。
（1）若{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）对于（1）中{}n a ，令32)7(nn n a b ⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
19.（本题满分12分）已知两点A ())(,),1,1(,sin ,cos OC x f B x x ==+。
（1）求)(x f 的对称轴和对称中心； （2）求)(x f 的单调递增区间。
20.（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，2,90,60==∠=∠CD C A，把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角A ―BD ―C 的余弦值等于33。
对于图2，完成以下各小题：（1）求A ，C 两点间的距离； （2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>13F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线与C 相交于A 、B 两点，1FAB∆的周长为3（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若椭圆C 上存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线的方程.22.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x x ax a R =+∈（I ）若函数()f x 在区间)2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围；（II ）若对任意()()()1,,1x f x k x ax x ∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.高三第二次单元过关考试理 科 数 学（答案）选择题：BAAAB BCBCD DD 填空题：13.4 14.5415.3 16. ①③④18.解：（1）根据题意：,16,10535362=⋅+==+a a a a a a 又分所以解得且的两根是方程所以4.73,328,01610,3553253⋯⋯⋯⋯⋯⋯-====<=+-n a d ，，aa a a ，x x a a n（2）则,232)7(n nn n n a b ⋅=⋅+= 分所以得12.22)1(222,221)21(222222222)1(2)2(2221222)1(23222111111132111321321⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⋅-=+-⋅=⋅---=⋅-++⋯+++=--⋅+⋅-+⋅-+⋯+⨯+⨯=⋅+⋅-+⋯+⨯+⨯+⨯=+++++-+--n n n n n n n nn n n n n n n n n n n T n n T ②，①②n n n T ①n n T19.解（1）由题设知，),sin ,(cos x x OA =……………………2分),sin 1,cos 1(),1,1(x x OB OA OC OB ++=+==则………………3分22)sin 1()cos 1()(x x x f +++==∴),4sin(223)cos (sin 23π++=++=x x x …………………………5分分对称中心是即对称中心横坐标满足分即对称轴是对称轴是9.),3,4(,4,,47.,4,,24⋯⋯⋯⋯⋯⋯∈-∴∈-=∈=+⋯⋯⋯⋯∈+=∈+=+∴Z k k Z ，k k x Z k k x Z k k x Z k k x πππππππππππ（2）当分单增时10)(,22422⋯⋯⋯⋯∈+≤+≤-，x f Z k k x k πππππ分的单增区间是1242,432)(,42432⋯⋯⋯⋯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∴∈+≤≤-Z k k k x f Z k k x k ππππππππ20.解：（1）取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 由AB=AD ，CB=CD 得，BD ，BD ，D，AE ⊥⊥AEC ∠∴就是二面角A ―BD ―C 的平面角，分133cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∠∴AEC 在△ACE 中，，，CE AE 26==分32,43326226穋os ·2222⋯⋯⋯⋯=∴=⨯⨯⨯-+=∠-+=AC AECCE AE CE AE AC （2）由AC=AD=BD=22，AC=BC=CD=2，分平面又分6490222222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⊥∴=⊥⊥∴⋯⋯⋯⋯=∠=∠∴=+=+∴BCD AC C ，CD BC CD ，BC ，C，AC ACD ACB ，AD CD ，ACAB BC AC（3）以CB ，CD ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C －xyz ，则分7).0,2,0(),0,0,0(),0,0,2()200(⋯⋯⋯⋯D C ，B ，，A分的正弦为所成角与平面于是分则取即则的法向量为设平面12.3323200sin 9),1,1,1(,1,022022,00),,(⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯++==⋯⋯⋯⋯====⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=ABD AC n z y x z y z x n n ，z y x n ABD θθ。