π 2 ，那么
dE
l dz e 2 R 4 0 R
两个分量为
z
ez
2
r
R
dz
z
er π P(r , , z ) 2
dEr dEsin
R r csc 由于 z z rcot dz r csc2 d 1 l d z dEz dEcos cos 2 4 π ε0 R
当 r > a 时，则电量q 为 q πa 2 L , 求得电场强度为
πa 2 E er 2π 0 r
上式中 a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场 可以看作为位于圆柱轴上线密度为 l =a2 的线电荷产生的电场。 由此我们推出线密度为 l 的无限长线电荷的电场强度为
p ql
那么电偶极子产生的电位为

p er p cos 4π 0 r 2 4π 0 r 2
利用关系式 E ，求得电偶极子的电场强度为
p cos p sin 1 1 e e E r 3 3 er r e r e r sin 2 π r 4 π r 0 0
r r l cos
l l r r r cos r cos r 2 2 2
求得

q 4π 0 r
l cos 2
q 4π 0 r
2
( l er )
式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶 极子的电矩，以 p 表示，即
a e cos e sin l 2 r z E r csc d 4π 0 a r 2 csc2 l [(sin 2 sin 1 )e z (cos 2 cos1 )er ] 4π 0 r
2 1
1 l d z sin 2 4 π ε0 R
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度
的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些 特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的
分布。
2.3 真空中静电场方程
物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个 积分形式的方程

S
E dS
q
0
几种典型的电场线分布








带电平行板
正电荷
负电荷
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
（a)单个点电荷产生的电场强度
E ( R)
F q e 2 R q 4π 0 R
N
V/m
（b)n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
1 E (r ) 4π 0
z
ez
2
r
解： 令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷
er π P (r , , z ) 2
的长度方位一致，且中点为坐标原点。
由于结构旋转对称，场强与方位角 无 关。因为电场强度的方向无法判断，不
R
dz
z
x
0
y
1
能应用高斯定律求解其电场强度。只好
进行直接积分，计算其电位及电场强度。
因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点P 位于yz平面，即

E


电场线 等位面



1. 电位参考点
电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。 场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
C 例如：点电荷产生的电位： 4 π 0 r
q

r 0
0
C
点电荷所在处不能作为参考点
x
0
y
1
求得
当长度 L 时，1 0，2 ，则
E
l l 2er er 4π 0 2π 0 r
例2
有面密度为 的无限大均匀带电平面，求周围空间的电场。

dr
R
r
o
P
dEz
z

解：分析题意，电场的分布以无限大带 电平面两侧为对称。采用直角坐标系， 作计算图。为了简化求解过程，将观察 点P取在z轴上。以原点o为圆心，作一 dr 宽为的圆环， 半径为 r， dq 2 r dr 为 环上的元电荷，如图所示。根据对称性， 此环形元电荷的电场方向沿z轴，即

L
轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无
y
S1
关。对于任一 z 为常数的平面，上下是对称
的，因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径 向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转
x
a
对称的特点，场强一定与角度 无关。
取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用 高斯定律
例4 计算点电荷的电场强度。 解：点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点
电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它

2.2 电位与等位面
静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作
用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。
应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电 位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原则上，可以任取 一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也 不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参 考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通 常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。 电位的数学表示
W q

C 点电荷： 4 π 0 r
q
式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。
电位相等的曲面称为等位面，其方程为
( x, y, z ) C
式中常数 C 等于电位值。
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是 垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规 定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明 电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也 可表示电场强度的强弱。
qk e 2 r k 1 Rk
体电荷分布 面电荷分布
（c)连续分布电荷产生的电场强度 元电荷产生的电场
1 E 4 π 0

dV
R
2
V
eR
dq dE e 2 R 4π 0 R
1 E 4 π 0
1 E 4 π 0

dS
R
2
S
eR
eR
线电荷分布

dl
R
2
l
例1 求长度为L，线密度为 l 的均匀线分布电荷的电场强度。

l
E dl 0
1 10 9 (F/m) 36π
式中0 为真空介电常数。 0 8.854187817 10 12 (F / m)
左式称为高斯定理，右式表明真空中静电场的电场强度沿任一条闭合 曲线的环量为零。
1. 高斯定理
a) 电通量：在电场中通过某一曲面电力线的根数: d E dS
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力; 真空中的介电常数
ε0 8.85 10 12 F/m；
2.电场强度矢量
电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。
F E (V/m ) q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。
电场线方程
E dl 0
用电场线围 成电场管
E
l er 2π 0 r
由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利 用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积 分计算电位或电场强度，显然不易。
2.静电场的无旋性
根据静电场基本方程可以求出电场强度的散度及旋度，即
E
0
E 0
左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密 度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处 处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。 无旋性证明见书P43

S
E dS
q
0
因电场强度方向处处与圆柱侧面 S1 的外法线方向一致，而与
上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为
E dS EdS E dS 2πrLE
S S1 S1
当 r < a 时，则电量q 为 q πr 2 L , 求得电场强度为
E
r er 2 0
dE dEz dq r dr z cos 2 3 2ε 4π ε 0 ( r 2 z 2 ) 2 0R
则无限大面电荷在P点产生的电场为
E ez
z rdr 0 2 2 3 2ε 0 (r z ) 2
ez z0 z 1 z 2ε 0 ez e z 2 2 2ε 2ε 0 r z 0 0 z e z 0 z 2 ε 0
y
+q l
x


O

r r-
利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电 位和电场强度。那么，电偶极子产生的电 位应为
-q

q 4π 0 r

q 4π 0 r

q r r 4π 0 r r
若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 e r ，e r 与 er 平行，则
b) 高斯定理：真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲
面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介