确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。

本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。

关键词：函数，求极限，基本方法Common method to determine the limit of functionAbstractIn mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability.keyword：Function, Limit, The basic method目录一、引言 (1)二、函数极限的基本知识 (1)（一）函数极限的定义 (1)（二）函数极限的性质 (1)三、函数极限的基本解法 (2)（一）定义法 (2)（二）利用极限四则运算法则 (2)（三）利用迫敛性定理求极限 (3)（四）利用两个重要极限求极限 (3)（五）利用左右极限求极限 (4)（六）幂指函数求极限 (4)四、函数极限的微积分解法. (5)（七）利用无穷小量求极限 (5)（八）利用洛比达法则求极限 (7)（九）利用单调有界准则求极限 (9)（十）利用中值定理求极限 (10)五、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (11)确定函数极限的常用方法一、引言纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。

因此，极限作为《数学分析》中一个最重要的概念，极限理论与极限解法是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用求极限的方法更是学好《数学分析》的基础。

但是，由于数学题型是多种多样的，实际问题又是千变万化的，因此求极限的方法也是因题而异、多种多样、变化多端，面对这些题型有时真的感到变幻莫测无从下手。

本文特对一些限极的计算方法进行归纳总结，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解方法与技巧，力求做到灵活应用求极限的方法。

二、函数极限的基本知识(一)函数极限的定义（二）函数极限的性质性质1 ()lim x af x →A =的充要条件是()f x 在a 点的左右极限都存在且都为A .性质2 唯一性 若()lim x af x →存在，则它只有一个极限.性质3 局部有界性 若()lim x af x →存在，则()f x 在a 的某个空心领域内有界.定义：设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0,存在正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →∞= 或 ()()f x A x →→+∞。

特别的，对上述定义，当x 趋于+∞[或-∞或∞]时，()f x 的极限仍然存在；当x 趋于a +（或a -）时，()f x 的左右极限也存在。

三、函数极限的基本解法（一）定义法极限的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。

虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比较非常麻烦，因些比较简单的题型。

此定义法一般适用于一 例1 按定义证明 1lim 0x x→∞=.证明 任给0ε>，取 1M ε=，则当 x M >时有1110x x Mε-=<=， 所以 1lim0x x→∞=. )二( 利用极限四则运算法则1. 若()lim x af x A →=，()lim x ag x B →=，则 ()()lim x af xg x A B →±=±⎡⎤⎣⎦.()()lim x af xg x AB →=⎡⎤⎣⎦.2. ()lim x af x A →=,()lim 0x ag x B →=≠,则()()limx af x Ag x B→=. 必是要求参加运算的函数算求函数极限时，首先应用函数极限的四则运性质4 局部保号性 若()f x 在a 点极限为A （0A >），则对任意正数r ，存在a的一个空心邻域()o U a ，使得对()o U a 中的任意x ，恒有()0f x r >>.性质5 不等式 若()lim x af x →A =，()lim x ag x B →=，且有0δ>()(),f x g x x ≤∀∈(),O U a δ 成立，则A B ≤，即()()lim lim x ax af xg x →→≤.性质6 迫敛性（两边夹） 若()()lim lim x ax af xg x A →→==，且有0δ>，()()()f x h x g x ≤≤ (),x U a δ∀∈ 则()lim x ah x A →=.需是收敛的，其是作为分母的函数的限限不能为0，再次的限限不能为0 .因子消去分子分母的公共零算前，先把所给的商式例2 求极限 237lim 5x x x →+-解 ()()222333lim 7737lim 85lim 535x x x x x x x →→→+++===----.例3 求极限limx →∞解limx →∞x =22+2=12x ==. )三( 利用迫敛性定理求极限或放大或缩小，使得放大，可将函数进行适当的当函数极限不易求出时公共值。

，则极限存在，且等于限，若二者的极限相同缩小后的函数易于求极 例4 求极限 2sin lim 4x x xx →+∞-解 由于0sin 1x ≤≤，故0≤2sin 4x x x - 24xx ≤-.又 21lim lim 044x x x x x x→+∞→+∞==-- 故 22+sin 0lim lim 044x x x x x x x →+∞→∞≤≤=-- 即 2sin lim 4x x xx →+∞-0=.)四( 限利用两个重要极限求极两个重要的极限：1. 0sin lim 1x x x →= 2. 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭第一个极限比较简单，是“0”型，一般可以通过等价无穷小来实现；第二个极限比较复杂，在计算时应注意它是()1+无穷大无穷小，是典型的“1∞”，具有“外大内小，内外颠倒”的特点。

在利用这两个重要极限求要求的函数极限时，其关键是在于把要求的函数极限进行转化，转化成重要极限的标准型或重要极限的变形，然后才能进行计算。

例5 求极限x →解0x →))00sin 41sin 4lim lim 414x x x x x x →→==∙)00sin 4limlim 4144x x xx→→=∙=.例6 求极限 2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭解 2132lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫⎪-⎝⎭1212113311lim 1lim 133x x x x x x x x -⎛⎫--∙ ⎪⎝⎭-→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭12113131lim 113x x xx x -⎛⎫-∙ ⎪⎝⎭-→∞⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭2e =.函数()f x 在x a →时极限存在的充要条件是左右极限各自存在且相等，即()()lim lim x ax af x f x -+→→=，这个公式既是求极限的有力的方法，也是证明极限存的有力工具。

对分段函数求问题应用尤多，而分段函数在分段点上求极限时，必须考虑该分段点的左右极限。

例7 设()f x 6,10,36,x x ⎧⎪=⎨⎪+⎩02223x x x ≤<=<≤ 讨论()2lim x f x →是否存在.解 因为()22lim lim 612x x f x x --→→== ()22lim lim (36)12x x f x x ++→→=+=()()22lim lim 12x x f x f x -+→→==所以 ()2lim x f x → 存在且 ()2lim x f x →12=. （六）幂指函数求极限的极限.这类极限常用的方法是先取对数，再求指数，把求“幂”的极限化为求“积”（五）利用左右极限求极限例8求极限()1lim xx→解原式=1ln0 lim xxe→00001ln1lim ln lim2x x x xx x→→→→====-所以，原式12e-=.例9 求极限1lnlim arctan x2xx→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭π.解原式1ln arctanln2lim xxxe⎛⎫-⎪⎝⎭→+∞=π，其中2111+xln arctan arctan22lim lim1lnx xx xxx→+∞→+∞⎛⎫∙-⎪⎛⎫⎝⎭--⎪⎝⎭=ππ21limarctan2xxxx→+∞-+=-π()()2222221211lim lim011x xx x xx xx x xx→+∞→+∞+-∙-+-===+-+，所以，原式01e==1.利用无穷小量的性质还是意有限个无穷小量的和积仍然是无穷小量，任无穷小量与有界量的乘求函数极倒数也是无穷小量。

在函数中任一无穷大量的无穷小量，在同一变量简便。

小量，从而使计算更加价无穷小量来代替无穷限的过程中，也可以等例10求极限21lim cosxxx→∞解因为21lim0x x→∞=故x→∞时，21x是无穷小量，而lim cosxx→∞是有界量所以21lim cosxxx→∞是无穷小量，四、函数极限的微积分解法（七）利用无穷小量求极限即 21limcos x x x →∞0=.法，通常会给解题带来很大的方便。

关于等价无穷小有一个重要的特点：若lim 0α=，lim 0β=且'~αα，'~ββ，''lim A αβ=，则''lim lim A ααββ==.在计当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ，1~x e x -，221cos ~x x -，()ln 1~x x +，1~ln x a x a -1~x n，()11~ax ax +-. 例11 求极限 0sin 5limtan 4x xx→解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，tan ~x x （0x →）0sin 5limtan 4x x x →055lim 44x x x →==.例12 求极限 22limsin 2xt x x e dtx x→-⎰解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，1~x e x - （0x →）202limsin 2xt x x e dtx x→-⎰223201limlim 26xt xx x x e dte x x →→--==⎰ 2201lim 6x x e x →-=2201lim 66x x x →-==-.()f x ()()()()()11'()()()()()()!1!nn n n f a f f a f a x a x a x a n n ξ++=+-++-+-+ ， 2.利用等价无穷小量代替来求极限泰勒公式（1）设()f x 在[],a b 上存在直到n 阶连续导数，在(),a b 内存在1n +阶导数，则3.利用泰勒公式求极限等价无穷小通常是针对一些0型的极限，若恰当的使用等价无穷小这种方算的过程中，等价无穷小是替换的是分子分母或它们的乘积因子，从而达到简 化极限计算的目的。