专题: 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A．是一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值同类题型1.2 已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：P′C＝2：3，则PB：P′A是（）A． 2 ：1 B．2：1 C． 5 ：2 D． 3 ：1同类题型2.1 如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型2.2 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C 重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN 2＋CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．同类题型2.4 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12，点G 为边EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，如图2，将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH 的最大值是_________，点H 运动的路径长是_________．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE 的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．专题08 几何变换问题例1．如图，斜边长12cm ，∠A ＝30°的直角三角尺ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°至△A ′B ′C 的位置，再沿CB 向左平移使点B ′落在原三角尺ABC 的斜边AB 上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）解：如图：连接B ′B ″，∵在Rt △ABC 中，AB ＝12，∠A ＝30°，∴BC ＝12 AB ＝6，AC ＝6 3 ， ∴B ′C ＝6，∴AB ′＝AC －B ′C ＝6 3 －6，∵B ′C ∥B ″C ″，B ′C ＝B ″C ″，∴四边形B ″C ″CB ′是矩形，∴B ″B ′∥BC ，B ″B ′＝C ″C ，∴△AB ″B ′∽△ABC ，∴AB ′AC ＝B ″B ′BC， 即：63－663＝B ″B ′6 ， 解得：B ″B ′＝6－2 3 ．∴C ″C ＝B ″B ′＝6－2 3 ．同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x ＋y （ ）A ．是一个确定的值B ．有两个不同的值C ．有三个不同的值D ．有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x ＝2，y ＝3，x ＋y ＝5；②长边重合，此时x ＝2，y ＝5，x ＋y ＝7．综上可得：x ＋y ＝5或7．选B ．同类题型1.2 已知：如图△ABC 的顶点坐标分别为A （－4，－3），B （0，－3），C （－2，1），如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1 点，若设△ABC 的面积为S 1 ，△AB 1 C 的面积为S 2 ，则S 1 ，S 2 的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定解：△ABC 的面积为S 1＝12 ×4×4＝8， 将B 点平移后得到B 1 点的坐标是（2，1），所以△AB 1 C 的面积为S 2＝12×4×4＝8， 所以S 1＝S 2 ．选B ．同类题型1.3同类题型1.4例2． 如图，P 是等边△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，已知∠AP ′B ＝150°，P ′A ：P ′C ＝2：3，则PB ：P ′A 是（ ）A ． 2 ：1B ．2：1C ． 5 ：2D ． 3 ：1解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ′，∴BP ＝BP ′，∠ABP ＋∠ABP ′＝60°，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠CBP ′＋∠ABP ′＝60°，∴∠ABP ＝∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP ′∠ABP ＝∠CBP ′AB ＝BC， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP ＝P ′C ，∵P ′A ：P ′C ＝2：3，∴AP ＝32 P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P ＝60°，PP ′＝PB ，∵∠AP ′B ＝150°，∴∠AP ′P ＝150°－60°＝90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A ＝x ，则AP ＝32 x ， 根据勾股定理，PP ′＝AP 2－P ′A 2＝94x 2－x 2＝52 x ， 则PB ＝52x ， ∴PB ：P ′A ＝52 x ：x ＝ 5 ：2． 选C ．同类题型2.1 如图，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向形外作△ABD ，使∠ADB ＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE ，则下列结论：①D 、A 、E 三点共线；②DC 平分∠BDA ；③∠E ＝∠BAC ；④DC ＝DB ＋DA ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：①设∠1＝x 度，则∠2＝（60－x ）度，∠DBC ＝（x ＋60）度，故∠4＝（x ＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x ＋60＋x ＋60＝180度，∴D 、A 、E 三点共线；②∵△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝60°，∴△CDE 为等边三角形，∴∠E ＝60°，∴∠BDC ＝∠E ＝60°，∴∠CDA ＝120°－60°＝60°，∴DC 平分∠BDA ；③∵∠BAC ＝60°，∠E ＝60°，∴∠E ＝∠BA C ．④由旋转可知AE ＝BD ，又∵∠DAE ＝180°，∴DE ＝AE ＋A D ．∵△CDE 为等边三角形，∴DC ＝DB ＋B A ．同类题型2.2 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2 ；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：∵正方形ABCD 中，CD ＝BC ，∠BCD ＝90°，∴∠BCN ＋∠DCN ＝90°，又∵CN ⊥DM ，∴∠CDM ＋∠DCN ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，又∵∠CBN ＝∠DCM ＝90°，∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；根据△CNB ≌△DMC ，可得CM ＝BN ，又∵∠OCM ＝∠OBN ＝45°，OC ＝OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM ＝ON ，∠COM ＝∠BON ，∴∠DOC ＋∠COM ＝∠COB ＋∠BPN ，即∠DOM ＝∠CON ，又∵DO ＝CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；∵∠BON ＋∠BOM ＝∠COM ＋∠BOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD 是等腰直角三角形，∴△OMN ∽△OAD ，故③正确；∵AB ＝BC ，CM ＝BN ，∴BM ＝AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2＋BN 2＝MN 2 ，∴AN 2＋CM 2＝MN 2 ，故④正确；∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积＝△BOC 的面积＝1，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN ＝x ＝CM ，则BM ＝2－x ，∴△MNB 的面积＝12x （2－x ）＝－12x 2 ＋x ， ∴当x ＝1时，△MNB 的面积有最大值12，此时S △OMN 的最小值是1-12=12 ，故⑤正确； 综上所述，正确结论的个数是5个，选D ．同类题型2.3 在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），B （0，4），将△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，使点B 在直线CD 上，连接OD 交AB 于点M ，直线CD 的解析式为__________．解：∵△BOA 绕点A 按顺时针方向旋转得△CDA ，∴△BOA ≌△CDA ，∴AB ＝AC ，OA ＝AD ，∵B 、D 、C 共线，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝OB ，∵OA ＝AD ，BO ＝CD ＝BD ，∴OD ⊥AB ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 与B 坐标代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝4， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝4 ， ∴直线AB 解析式为y ＝－43x ＋4， ∴直线OD 解析式为y ＝34x ， 联立得：⎩⎨⎧y ＝－43x ＋4y ＝34x ， 解得：⎩⎨⎧x ＝4825y ＝3625，即M （4825 ，3625 ）， ∵M 为线段OD 的中点，∴D （9625 ，7225）， 设直线CD 解析式为y ＝mx ＋n ，把B 与D 坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9625m ＋n ＝7225n ＝4， 解得：m ＝－724，n ＝4， 则直线CD 解析式为y ＝－724x ＋4． 同类题型2.4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连结CE ，CF ，若∠CEF ＝α，∠CFE ＝β，则tan α﹒tan β＝___________．解：过C 点作MN ⊥BF ，交BG 于M ，交EF 于N ，由旋转变换的性质可知，∠ABG ＝∠CBE ，BA ＝BG ＝5，BC ＝BE ＝3，由勾股定理得，CG ＝BG 2＋DG 2 ＝4，∴DG ＝DC －CG ＝1，则AG ＝AD 2＋DG 2＝10 ，∵BA BC ＝BG BE，∠ABG ＝∠CBE ， ∴△ABG ∽△CBE ，∴CE AG ＝BC AB ＝35 ， 解得，CE ＝3105， ∵∠MBC ＝∠CBG ，∠BMC ＝∠BCG ＝90°，∴△BCM ∽△BGC ，∴CM CG ＝BC BG ，即CM 4＝35， ∴CM ＝125， ∴MN ＝BE ＝3，∴CN ＝3－125＝35，∴EN＝CE2－CN2＝95，∴FN＝EF－EN＝5－95＝165，∴tanα﹒tanβ＝CNEN﹒CNFN＝3595×35165＝116．同类题型2.5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．解：如图连接P C．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝12A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．同类题型2.6 如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF ＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，BC ＝12， 在Rt △BHM 中，BH ＝2HM ＝2a ，BM ＝ 3 a ，∵BM ＋FM ＝BC ，∴ 3 a ＋a ＝12，∴a ＝6 3 －6，∴BH ＝2a ＝12 3 －12．如图2中，当DG ⊥AB 时，易证GH 1 ⊥DF ，此时BH 1 的值最小，易知BH 1＝BK ＋KH 1＝3 3 ＋3，∴HH 1＝BH －BH 1＝9 3 －15，当旋转角为60°时，F 与H 2 重合，此时BH 的值最大，易知最大值BH 2＝6 3 ，观察图象可知，在∠CGF 从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长＝2HH 1＋HH 2＝18 3－30＋[6 3－（12 3－12）]＝12 3 －18．例3．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得AD 的对应边A 1D 1 过点C ，EF 为折痕，若∠B ＝60°，当A 1 E ⊥AB 时，BE AE的值等于（ ）A ．36B ．3－16C ．3＋18D ．3－12解：如图所示，延长AB ，D 1A 1 交于点G ，∵A 1 E ⊥AB ，∠EA 1 C ＝∠A ＝120°，∴∠G ＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠BCG ＝60°－30°＝30°，∴∠G ＝∠BCG ＝30°，∴BC ＝BG ＝BA ，设BE ＝1，AE ＝x ＝A 1 E ，则AB ＝1＋x ＝BC ＝BG ，A 1 G ＝2x ，∴GE ＝1＋x ＋1＝x ＋2，∵Rt △A 1 GE 中，A 1E 2＋GE 2＝A 1G 2 ，∴x 2＋（x ＋2）2＝（2x ）2 ，解得x ＝1＋ 3 ，（负值已舍去）∴AE ＝1＋ 3 ，∴BE AE ＝11＋3＝3－12， 选D ．同类题型3.1 如图，正方形ABCD 中，AD ＝4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 边的中点，则△EMN 的周长是_____________．解：解法一：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD ＝45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE ＝PC ，设PC ＝x ，则PE ＝x ，PD ＝4－x ，EQ ＝4－x ，∴PD ＝EQ ，∵∠DPE ＝∠EQF ＝90°，∠PED ＝∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF ，∴DE ＝EF ，∵DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，易证明△DEC ≌△BEC ，∴DE ＝BE ，∴EF ＝BE ，∵EQ ⊥FB ，∴FQ ＝BQ ＝12BF ， ∵AB ＝4，F 是AB 的中点，∴BF ＝2， ∴FQ ＝BQ ＝PE ＝1，∴CE ＝ 2 ，PD ＝4－1＝3，Rt △DAF 中，DF ＝42＋22＝2 5 ，DE ＝EF ＝10 ，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG ＝DC AF ＝DG FG ＝42 ＝2， ∴CG ＝2AG ，DG ＝2FG ，∴FG ＝13×25＝253， ∵AC ＝42＋42＝4 2 ，∴CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， 连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE ＝45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH ＝FH ＝2532＝103 ， ∴EH ＝EF －FH ＝10－103＝2103 ，由折叠得：GM ⊥EF ，MH ＝GH ＝103 ， ∴∠EHM ＝∠DEF ＝90°， ∴DE∥HM ，∴△DEN ∽△MNH ， ∴DE MH ＝EN NH， ∴10103＝EN NH ＝3， ∴EN ＝3NH ，∵EN ＋NH ═EH ＝2103 ， ∴EN ＝102， ∴NH ＝EH －EN ＝2103－102＝106， Rt △GNH 中，GN ＝GH 2＋NH 2＝(103)2＋(106)2＝526， 由折叠得：MN ＝GN ，EM ＝EG ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法二：如图3，过G 作GK ⊥AD 于K ，作GR ⊥AB 于R ，∵AC 平分∠DAB ，∴GK ＝GR ，∴S △ADG S △AGF ＝12AD ﹒KG 12AF ﹒GR ＝AD AF ＝42 ＝2， ∵S △ADG S △AGF ＝12DG ﹒h12GF ﹒h ＝2， ∴DG GF＝2， 同理，S △DNF S △MNF ＝DF FM ＝DN MN ＝3， 其它解法同解法一，可得：∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102； 解法三：如图4，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴EP ＝EQ ，易证△DQE 和△FPE 全等，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝4－x ＝FP ＝x －2，解得x ＝3，所以PF ＝1，∴AE ＝32＋32＝3 2 ，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴同解法一得：CG ＝23×42＝823， ∴EG ＝823－2＝523， AG ＝13AC ＝423， 过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK ＝43 ，HF ＝MK ＝23， ∵ML ＝AK ＝AF ＋FK ＝2＋43＝103 ，DL ＝AD －MK ＝4－23＝103， 即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP ∴NI EP ＝FI FP ∴y 3＝2－y1， 解得y ＝1.5，所以FI ＝2－y ＝0.5，∴I 为FP 的中点，∴N 是EF 的中点，∴EN ＝0.5EF ＝102， ∵△BIN 是等腰直角三角形，且BI ＝NI ＝1.5，∴BN ＝32 2 ，BK ＝AB －AK ＝4－103＝23 ，BM ＝23 2 ，MN ＝BN －BM ＝322－232＝56 2 ，∴△EMN 的周长＝EN ＋MN ＋EM ＝102＋526＋523＝52＋102．同类题型3.2 如图，∠MON ＝40°，点P 是∠MON 内的定点，点A 、B 分别在OM ，ON 上移动，当△PAB 周长最小时，则∠APB 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．100°D ．140°解：如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P ′、P ″，连接OP ′、OP ″、P ′P ″，P ′P ″交OM 、ON 于点A 、B ， 连接PA 、PB ，此时△PAB 周长的最小值等于P ′P ″．如图所示：由轴对称性质可得，OP ′＝OP ″＝OP ，∠P ′OA ＝∠POA ，∠P ″OB ＝∠POB ，所以∠P ′OP ″＝2∠MON ＝2×40°＝80°，所以∠OP ′P ″＝∠OP ″P ′＝（180°－80°）÷2＝50°，又因为∠BPO ＝∠OP ″B ＝50°，∠APO ＝∠AP ′O ＝50°，所以∠APB ＝∠APO ＋∠BPO ＝100°．选C ．同类题型3.3 如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE ＝HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④AD AB ＝ 2 35，其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH ＝AD ＝2AG ，∠AHE ＝∠D ＝90°，∴∠AHG ＝30°，∠EHM ＝90°－30°＝60°，∴∠HAG ＝60°＝∠AED ＝∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH ＝60°＝∠EHM ＝∠MEH ，∴△MEH 为等边三角形，故①正确；∵∠EHM ＝60°，HE ＝HF ，∴∠HEF ＝30°，∴∠FEM ＝60°＋30°＝90°，即AE ⊥EF ，故②正确；∵∠PEH ＝∠MHE ＝60°＝∠HEA ，∠EPH ＝∠EHA ＝90°，∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；设AD ＝2＝AH ，则AG ＝1， ∴Rt △AGH 中，GH=3AG= 3 ，Rt △AEH 中，EH=AH 3=233 ＝HF ， ∴GF=533 ＝AB ， ∴AD AB =2533=235 ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④，选D ．同类题型3.4 △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AE D ．连CE ，则线段CE 的长等于_______．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ＝DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝75 ．。