贵州省遵义航天高级中学2019届高三数学第四次模拟考试试题 文一、选择题：1、已知集合{},,022R x x x x M ∈<--=}=⋂∈+⎩⎨⎧-==N M R x x y y N 则,,1212A. {},11≤<-x xB. {},21<<x xC. {},12<≤-x xD.{},21<≤x x 2、已知i 为虚数单位，则2019i =A. 1B. iC. i -D. -13、已知命题01,:2≥+-∈∃x x R x p ；命题22:b a q <若，则b a <.下列命题中为真命题的是A.q p ∧B. )(q p ⌝∧C. q p ∧⌝)(D.)()(q p ⌝∧⌝4、已知向量)7,1(),1,2(=-=b a，则下列结论正确的是A.b a⊥B.a ‖bC. )(b a a -⊥D.)(b a a +⊥ 5. 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为A. ①系统抽样，②简单随机抽样B. ①分层抽样,②系统抽样C. ①系统抽样, ②分层抽样D.①分层抽样,②简单随机抽样6、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2B ．4C ．6D ．87、在等差数列{}n a 中，若55119753=++++a a a a a ，33=s ，则5a 等于（ ）A.9B.7C.6D.58、一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。

丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（A.甲B.乙C. 丙D. 丁的值为，则，，若的对边分别为中，角在b C A C A b c a c b a C B A ABC sin cos 3cos sin ,,,,.922==-∆ A.2 B. 3 C . 4 D. 510、在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的俯视图正视图余弦值为 A ．15BCD11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．1412、已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f .若660.60.60.70.7.7(.7),(log 6)(log 6),6(6)a o f o b f c f ===，则a,b,c 的大小关系是（ ）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD.a>c>b二、填空题：______________________________2142.13处的切线方程是在曲线=-+=x x x e y x ————————14.将函数3sin(2)的图象向右平移（0)个单位后,所得图象对应的函数32为偶函数，则y x ππφφφ=+<<=15.A,B,C,D 均在同一个球上，且AB,AC,AD 两两互相垂直，且AB=1,AC=2,AD=3，则该球的表面积为.16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________． 三、解答题：17. 在数列{}n a 中，41=a ，且n n a n na n n 22)1(21+=+-+（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S 。

18、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设PC 与平面ABCD 所成的角的正弦为52，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.19.某高中有高一新生500名，分成水平相同的B A ,两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从B A ,两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试. （1）求该学校高一新生B A ,两类学生各多少人？ （2）经过测试，得到以下三个数据图表：图1：75分以上B A ,两类参加测试学生成绩的茎叶图 图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图下图表格：100名学生成绩分布表：①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.20. 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为21F F 、，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量021=•F B F B（1）若)0,2(A ，求椭圆的标准方程;（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过F 1，问是否存在过F 2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

21. 设函数R a ax x x x f ∈+-=,2131)(23。

（1）若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值。

（2）已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围。

22.[选修4—5：参数方程选讲]（10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1c 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t t y tt x 11（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2c 的极坐标方程是1)3sin(=+πθρ（1）求曲线1c 的普通方程和曲线2c 的直角坐标方程； （2）若两曲线交点为A 、B ，求AB23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-． ⑴画出()y f x =的图像；⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．文科数学答案一、选择题：1----5ACBDA,6-------10CBCAD 11-----12DB 二、填空题：13.02=--y ex 14. 125π15.π14 16.2 三、解答题：17.解析：（1）nn a n na n n 22)1(21+=+-+的两边同除以)1(+n n ，得211=-++na n a n n ，又411=a ，..............4分 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列.............6分(2)由（1）得)1(21-+=n a n a n ，即22+=n nan ,n n a n 222+=∴...........8分故)111(2122112+-=+=n n n n a n (10)所以)]111()3121()211[(21+-++-+-=n n s n =)1(2)111(21+=+-n n n ..........12分 18.答案：(1)连接BD 交AC 于点F ，连接EF则在三角形BDP 中，点E 是PD 的中点，点F 是BD 的中点，即线段EF 是BDP ∆的中位线 所以PB ‖EF ，又因为⊄PB 平面AEC ，⊂EF 平面AEC ，所以PB ‖平面AEC......6 (2) ,25,52sin ===∠PC PC PA PCA 所以221=AC ，所以23=AB 所以83212131=⨯⨯⨯⨯=-PA CD AD V ACD E ........12分19解：（1）由题意知A 类学生有200604040500=+⨯（人）则B 类学生有500－200=300（人）. …2分 （2）①表一…………………5分图二 组号 分组频数 频率 1 5 0.05 2 20 0.20 3 25 0.25 4 35 0.35 5 100.10650.05合计1001.00…………………8分②79分以上的B 类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a ）、（23）、（2a ）、（3a ）共6种抽法； 抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法 则抽到2人均在80分以上的概率为2163==P …………………12分20、解析：（1）易知2=a ，因为021=•F B F B所以21F BF ∆为等腰三角形所以b=c ，由222c b a =-可知2=b故椭圆的标准方程为：12422=+y x .............5分（2）由已知得22222,c a c b ==设椭圆的标准方程为122222=+c y c x ，p 的坐标为),(00y x ..........7分因为),0(),0,(1c B c F -,所以),(),,(1001c c B F y c x P F =+=由题意得021=•F B F B,所以000=++c y x又因为P 在椭圆上，所以12220220=+cy c x ,由以上两式可得043020=+cx x 因为P 不是椭圆的顶点，所以c y c x 31,3400=-=，故)3,34(c c P - 设圆心为),(11y x ，则32,3211cy c x =-=圆的半径cc y x r 35)()0(2121=-+-=.........9分假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为)(c x k y -=由相切可知r k y kc kx =+--1211,所以35132)32(2ck c kc c k =+---即0120202=-+k k ，解得103021±-=k ...........12 分故存在满足条件的直线。

22. 解析：（1）R a ax x x x f ∈+-=,2131)(23，a x x x f +-=2')(， 因为2=x 是)(x f 的极值点，所以024)2('=+-=a f ，解得2-=a ..........5分 (2)32)1(2131)(23+++-=ax x a x x g ， ))(1()1()(2'a x x a x a x x g --=++-=。

①当1≥a 时，)1,0(∈x0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递减，又032)0(>=g 因此函数)(x g 在区间)1,0(内没有零点。