B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
2
s x s y cos2a
2
sin2a t xcos2a
t
xsin2a
3、讨论：
e
τx σx a
σα a τα
n
b
f
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
ta
sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
στyy t
s a 90
sx
到smax和tmax
s a s cos2a
ta
s 2
sin2a
F
FN
paσα
FN
α τα
一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。
2、全面进行强度计算的需要
σmax
τmin
①只存在s：
s
≤
m ax
s
轴向拉压、梁截面上下边缘 z
τmax
②只存在t： t m ax ≤ t
自由扭转、梁截面中性轴处
τy σy c
τσx x σyτy d
x
二、应力圆 1、应力圆的绘制
t
σx
试作图示单元体的应力圆
D1σ( x ,τ x )
圆心：( s x s y ，0)
2
半径：(s
x
s
2
y
)2
t
2 x
o
B2 C B1
σ
τy τx
证明：
OC= OB1 OB2 = s x s y
2
2
2
2
CD1= CB1 B1D1
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
方位 A1点如何得到？
τy τx
o
C
σ B1 A1 σ
( 1 ,0)
以CD1点为起始半径, 顺时针旋转2α0
(σy ,Dτ2y)
至CA1即可。
σy
y
a τy σy τx e σα
b
σyτy d
已知s x、s y、t x、a，求sa、ta
e
τx σx a
σα a τα
n
b
f
στyy t
y
t xdAcosa n
s xdAcosa a
sa dA a t ydAsin a
a
s
a ydAsin a
ta dA t
x
解： Fn 0
sadA (t xdAcosa )sina (s xdAcosa ) cosa (t ydAsina ) cosa (s ydAsina)sina 0
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
sa
c
a
EF=CEsin(2a0 +2a)
σx a ταf τσx x x
bLeabharlann σyτy d=CD1cos2a0sin2a CD1sin2a0cos2a
sx
s
2
y
sin2a
t xcos2a
ta
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
t
CB1 OB1 OC
=s
x
s
x
s
2
y
=sx sy
2
(σy ,Dτ2y) σy
y
a τy σy c
B1D1 t x
τx
该圆即为方程
CD1=
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
σx
b
(sa
sx
sy
2
)2
t
2 a
s
(
x
s y
2
)2
t
2所表示的圆。
x
τσx x x σyτy d
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
t
σx
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
1、作单元体的应力圆
2、以CD1为起始半径, 按α的旋转方 向旋转2α, 得到E点。
B2
o
C F B1
σ E点的坐标即为：（sa，ta）
τy τx
(σy ,Dτ2y) σy
y
a τy σy c n τx e σα a
σx a ταf τσx x x
注意A1、A2点
τy τx
σx
σ( 2,0)
A2 B2 o
(σy ,Dτ2y) σy
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
σ C B1 A1 σ
( 1 ,0)
y
数值
s1 OA1=OC CA1
=sx sy
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
s2 OA2 =OC CA2
=sx sy
2
s
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
e
τx σx a
σα a τα
n
ta
sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
s a、t a 均以2a 为参变量
b
f
στyy t
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
ta
s
x
s
2
y
sin2a
t xcos2a
德国 1895年提出
(s a
sx
sy
2
)2
t
2 a
s
(
x
s y
2
)2
t
2 x
圆的方程
s a、 t a 在 s
t 直角坐标系内的轨迹是以(s
x
s
2
y
, 0)为 圆 心 ，
（s
x
2
s
y
）2
t
2为半径的圆，此圆称为应力圆，或莫尔圆。
x
二、应力圆 1、应力圆的绘制 试作图示单元体的应力圆
t
σx
D1σ( x ,τ x )
τy τx
①: 建立σ-τ坐标系
ttzyyz tzx
txz tzx sz tzy
ttyyxz
sz txz
txy
sx
x
z
sy
三、主平面、主应力与主单元体
σy σz
主平面：切应力为零的截面（t =0）。
主应力：主平面上的正应力。
σx
σx
主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。σz σy
可以证明, 通过一点处的各不同方位的截面中, 一
txz tzx sz tzy
ttyyxz
sz txz
txy
应力张量的第一、第二和第三不变量。
sx x I1 s x s y +s z
z
sy
I2
sxs y
s ysz -szsx
t
2 xy
t
2 yz
t
2 zx
s x t xy t xz I3 t yx s y t yz
t zx t zy s z
二、应力圆
dy dz
单元体的特点： dx dy dz 0
A
①单元体各个面上的应力是均匀分布的；
②两个平行面上的应力大小相等。
dx
（一个面的两侧）
y sy
只要知道单元体三对相互平行面上的应力, 其它任意截面上的应力均可用截面法求出, 因此可用单元体三个互相垂直平面上的应 力来表示一点的应力状态。