【关键字】高三2014届高三数学精品复习之数学归纳法、极限1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。

2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知，则=A．+，B．++，C．- D．+-解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即===++-=+- 故选D。

[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为[解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k=5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k[巩固1] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2B. 2－. 2 D. 2＋1[巩固2]用数学归纳法证明命题：(n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件(1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。

用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的根底，（2）是递推的条件；二者缺一不可。

4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。

用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，；解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．[举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有；（1）求，；（2）求数列的通项．（07高考江西理22）解析：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故． 当时，由，解得，所以． （2）由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以． ，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，． [巩固1]已知数列，，…，，…；S 为其前n 项和，求S 、S 、S 、S ，推测S ，并用数学归纳法证明。

[巩固2] 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： （07高考重庆理21）5．若存在，则=，若==0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。

若=A 、=B ，则[±]= A±B, []=AB, = (B≠0).[举例] .（07高考陕西理13） 解析：==， ∴=[巩固1] 下列四个命题中，不正确的是（ ）A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D ．111lim12x x x -=-→ （07高考湖南理7） [巩固2] 2241lim()42x x x→--=-+________ 6．若|q |<1,则∞→n lim n q =0；q =1，则∞→n lim n q =1；若q >1或q ≤-1, 则∞→n lim nq 不存在。

∞→n lim c=c (c 为常数)；“∞c ”型的式子极限为0；“0c ”型、“c ∞”型的极限不存在；“00”型和“∞∞”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。

若∞→n lim n a =A 、∞→n lim n b =B ，则 ∞→n lim (n a ±n b )= A ±B,∞→n lim (n a n b )=AB, ∞→n limn n b a =BA(B ≠0). [举例1]若1,()n a n n a n ==+-则常数 .解析：分母有理化[举例2]已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- （07高考湖北理5） 解析：111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→1111111111lim 2222-+++⋅+-+++⋅+∞→qqq q p pp p n n C n C n q n C n C n p =q qq qppp p n n C n C nq n C n C n p 111111lim 2222+++⋅+++⋅∞→ =12321232111111lim --∞→++++++++q qq q qp pp p pn n C n C nC q n C n C n C p =p q ，选C 。

[巩固1]把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[巩固2]. n →∞lim 12n(n 2+1－n 2－1) 等于( ) A. 1 B. 12 C.14D.0[迁移]设正数a b ，满足22lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n nn a ab a b +--→∞+=+（ ） Ａ．0Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．1 （07高考重庆理8）7．无穷数列{n a }的前n 项和为S n ，n n S ∞→lim 称为数列{n a }的无穷多项和或所有项和。

求nn S ∞→lim 时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求S n ，再求极限。

若{n a }为等比数列，公比为q 且|q|<1，则n n S ∞→lim =qa -11。

[举例1]若数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+, 则 =++++∞→)(lim 21n n a a a （07高考湖南理2）ABCA ．21 B ．32 C ．23D ．2 解析：数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+，1113n n n a a a a +=⋅=，∴数列}{n a 是首项为31，公比为31的等比数列。

=++++∞→)(lim 21n n a a a 1112a q =-，选A.[巩固2]如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交 于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P -，，，，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为121n Q Q Q -，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △，212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 ．解析：)0,1(1n P ，)0,2(2n P ，…，)0,1(1n n P n --；))1(1,1(21n n Q -，))2(1,2(22n n Q -，…，))1(1,1(21n n n n Q n ----，记n n n P P Q 1-∆的面积为S n ，则S 1=])1(1[1212n n -⋅⋅，S 2=])2(1[1212n n -⋅⋅，…，S n-1=])1(1[1212nn n --⋅⋅; )(lim 121-∞→+++n n S S S =])1(21)1[(21lim 2222n n n n n -+++--∞→ =312)32)(2)(1(lim 21nn n n n ----∞→=6121-=13. [巩固1]数列｛214n 1－｝的前n 项和为S n ，则n lim →∞S n ＝______________ [巩固2] 如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的 三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.[巩固3]2222464646()()...()575757lim 545454()()...()656565n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ 答案2、[巩固1]C ；4、[巩固1] S n ＝()()2112122n n +-+，[巩固2] 31n a n =-，5、[巩固1]C ，[巩固2]41；6、[巩固1] D ，[巩固2] B ，[迁移] B ；7、[巩固1] 12， P 1 P 2P n-1Q 1 Q 2Q n-1P n-2 O[巩固2]34，[巩固3] -1此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。