高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析第一节圆的基本概念1. 圆的标准方程：(x- a)2+ (y- b)2 = r2(圆心(a,b)，半径为r )例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)x2 + ( y + 3) 2 = 2 ; (2) (x + 2) 2 + ( y T) 2 = a2 ( a^0)圆心在直线x -2y -3 = 0上，且过A(2 ,£) , B(-,七)，求圆的方程.例3已知三点A(3 , 2) , B(5 , -3) , C( - , 3)，以P(2 ,-)为圆心作一个圆, 使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2. 圆的一般方程：x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0 (其中D2 + E2- 4F > 0),圆心为点(—D —1),半径r D2 E2—4F2 2 2(I)当D2+ E2- 4F = 0时，方程表示一个点，这个点的坐标为(--,--)2 2 (U)当D2+ E2- 4F < 0时，方程不表示任何图形。

例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。

解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，• •• (2k)2 42 4(3k 8) 0，解得k 4或k 1•••当k 4或k 1 时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

例2:若(2m2+m-1 x2+(m2-m+2)y2+m+2=啲图形表示一个圆，贝U m的值是._____ 0答案：—3 例3:求经过三点A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)三点在圆上，代入圆的方程并化简,得DEF 2D 4EF 17，解得D= —7, E= —3, F= 24D 2E F 20•••所求圆的方程为x2 y2 7x 3y 20。

例4:若实数x, y满足x2 y2 4x 2y 4 0 ,则x2寸的最大值是________________________ <解：由x2 y2 4x 2y 4 0，得(x 2)2 (y 1)29•••点P(x, y)在以(一2,1 )为圆心，半径r=3的圆C上,IOCI . (0一2厂(0一1)2、5 ,•••原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为丨OC| + r = . 5 + 3•x2 y2的最大值为(5 3)214 6 5。

3. 圆的一般方程的特点：(1) ①x2和y2的系数相同，不等于0。

②没有xy这样的二次项。

(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D E、F,只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。

(3) 与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。

4. 圆的一般方程变形2 2如果Ax + Bxy+ C y + Dx+ Ey+ F 二 °是圆，一定有(1)A=C 0; (2) B=0; (3)D2+E2-4AF>0反之，也成立。

例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

(1) 4x2 + 4y2- 4x+ 12y+ 9= 0(2) 4x + 4y - 4x+ 12y+ 11= 0例2:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m的取值范围是( D )1例3:如果圆的方程为x 1 2 3 4+y 2+kx+2y+k 2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为A.(-1，1)B. ( 1, -1)C. (-1，0)D. ( 0, -1)例 4 :圆x 2 y 2 2axcos 2aysin 0的圆心坐标为 _______________为 ______ .例 5:方程 x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4 * * 7+9=0表示一个圆。

2 :求实数m 的范围。

3 :求该圆半径r 的范围。

4 :求圆心C 的轨迹的普通方程。

A. < m< 1B. 4m> 1 C. 1 m< - 4 D. m< -或 m>1 4) 半径第二节点与圆的关系1•点M(x o ,y 。

)与圆(x- a)2+(y- b)2 = r 2的关系的判断方法(1) (x o - a)2 + (y o - b)2>r 2，点在圆外(2) (x o - a)2 + (y o - b)2 = r 2，点在圆上(3) (x o - a)2 + (y o - b)2<r 2，点在圆内例1: VABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,- 3),C(2,- 8),求它的外接圆的方程。

解析：用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数。

例2:已知圆经过点 A(1,1)和B(2,- 2),且圆心在l:x- y+1=0上，求圆的标准方 程。

解析：圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,- 2),由于圆心C 与A,B 两点的距离相等， 所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 例3 :写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点MJ5, 7),M 2( Z5, 1)是否在这个圆上。

2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r相等。

例1:求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程解析：圆方程可以转化为(x+2) 2+(y-6) 2=1，圆心0(-2,6)，半径为1。

设圆心关 于直线的对称点O'(a,b) ，00和直线3x-4y-5=0对称，因此有： | H -L I — 解得所求圆的方程为 (x-乎)2+ 5 (y+^)2= 1 53. 与圆有关的轨迹方程方法一：代入转移求轨迹方程已知线段AB的端点B(4,3),端点A在圆(x 1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

女口.方法二：参数法求轨迹方程当a取不同的非零实数时，方程x2y2—2ax —2. 3ay 3a20表示的曲线是不同的圆。

求圆心的轨迹方程。

方法三：充分利用韦达定理如：设0为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+仁0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0 对称,又满足0P • OQ=0,求直线PQ的方程。

解：曲线方程为(x+1) 2+ (y —3) 2=9表示圆心为(一1, 3),半径为3的圆.•••点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，•••圆心(一1, 3)在直线上.代入得m=- 1。

•••直线PQ与直线y=x+4垂直，•••设P (X1, yd、Q(X2, y2), PQ方程为y=—x+b.将直线y= —x+b 代入圆方程，得2x2+2 (4—b) x+b2—6b+1=0.△=4 (4—b) 2—4X 2X( b2—6b+1) >0,得2—3,2 <b<2+3 2。

2由韦达定理得X1+X2=—(4—b) , X1 • X2=b —6b 1。

22 2y1 • y2=b —b (X1+X2) +X1 • X2=b —6b 1 +4b.2■/ OP • OQ =0,二X1X2+y1y2=0,即b2—6b+1+4b=0.解得b=1€( 2— 3 2 , 2+3 2 )。

•所求的直线方程为y= —x+1。

4. 圆中的最值思想y- bm = -------(1)形如x- a的最值问题，转化为动直线斜率的问题；(2)形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m=(x-a)2+(y-b) 2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。

如：已知点P (x,y、是圆(x+2) 2+y2 =1上任意一点。

(1)求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；(2)求x-2y的最大值和最小值；y- 2(3)求x- 1的最大值和最小值。

解：(1)圆心C (-2,0 )到到直线3x+4y+12=0的距离为：|3*( -2)+4*0+12| 6d = . =、32+ 42 56 11 6 1 •••所以P到直线距离的最大值为d+r= 5+仁5 ,最小值为d-r= 5-仁5 (2)设t=x-2y,、 . 2 2•••直线x-2y-t=0 与圆(x+2) +y =1有公共点•圆心到直线的距离小于等于半径k= 2(3)设X- 1，则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2) 2+y2 =1有公共点•圆心到直线的距离小于等于半径解：(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4 卅)2-4(16 卅+9)>0，1解之得-1<m<1.7(2) r 卫一E2_ 4F，得到r的取值范围2(3) 设圆心为(x，y)，『x = ffi 4-3则'一2消去m得:y=4(x-3) -1，■/ - !<0<1，7即轨迹为：y=4(x-3) 2-1( 20<x<4)7例6:已知实数x,y满足等式(x 4)2 (y 3)29，求x y的最值。