第三章 圆的基本性质单元测试A一、选择题1﹒下列条件中，能确定圆的是（ ）A.以已知点O 为圆心B.以点O 为圆心，2cm 长为半径C.以2cm 长为半径D.经过已知点A ，且半径为2cm 2﹒下列说法错误的是（ ）A.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形；B.半圆是弧，但弧不一定是半圆C.直径是弦，并且是圆内最长的弦D.长度相等的两条弧是等弧3﹒已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 上 B.点A 在⊙O 内 C.点A 在⊙O 外 D.点A 与圆心O 重合 4. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ， 若∠CAE ＝65°，∠E ＝70°，且AD ⊥BC ，则∠BAC 的度数 为（ ）A.60°B.75°C.85°D.90° 5﹒在⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为AB 长度的一半， 则弦AB 所对圆心角的大小为（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°6﹒如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）D.8 7﹒下列命题中的假命题是（ ） A.三点确定一个圆B.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D.同圆中，相等的弧所对的弦相等8﹒一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB ＝10，水面宽AB 是16，则截面水深CD 是（ ）第6题图A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图第10题图第11题图9﹒如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm10.如图，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A.32°B.60°C.68°D.64°11.如图，已知AB为⊙O的直径，∠DCB＝20°，则∠DBA的度数为（）A.50°B.20°C.60°D.70°12.P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB、CD所对的圆心角分别为90°、50°，则∠P的度数为（）A.45°B.40°C.25°D.20°13.若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝则此三角形的外接圆的半径为（）B.2D.415.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝6，则⊙O的半径为（）16.下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能铺满地面的是（）第12题图A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形17.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC 的长为（ ）A.2πB.πC.2π D.3π18.若扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长是（ ） A.π B.2π C.4π D.8π19.如图，等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝8，以AB 为直径的半 圆O 交斜边BC 于D ，则阴影部分的面积为（ ） A.24－4π B.32－4π C.32－8π D.1620.如图，△ABD 是⊙O 的内接正三角形，AB ＝AC 是直径， 且AC ⊥BD 于F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.83π－B.163π－C.83π－D.163π－二、填空题21.已知：⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P 的坐标为（－3，4），则坐标原点与⊙P 的位置关系是____________________.22.已知圆内一点P 到圆上各点的距离中最短距离为2cm ，最长距离为8cm ，则过P 点的最短弦长为___________.23.如图，在Rt △ABC 中，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ， ∠BCD ＝40°，则∠A ＝_________.第20题图第17题图第19题图第23题图第24题图第25题图第26题图24.如图，AB是⊙O的一条弦，弦AB把⊙O分成5：1两部分，若⊙O的半径为2cm，则弦AB的长为__________.25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点.若∠A＝40°，则∠B＝_____.26.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为__________.27.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是_________.第27题图第28题图第29题图第30题图28.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点B是优弧ABC的中点，若∠ABC＝74°，则∠ADB＝_______.29.如图，正六边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为_________.30.如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画四分之一圆分别交BC、AB于D、E，则图中阴影部分的面积是___________.（结果保留 ）三、解答题31.如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于D，弦DE∥AB交AC于P.求证：OP平分∠APD..32.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB，且交⊙O于E.求证：BD BE33.如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由.34.如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.（1）若∠D＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AC＝8，DE＝2，求AB的长.35.（1）已知⊙O的直径为10cm，点A是⊙O外一定点，OA＝12cm，点P为⊙O上一动点，求P A的最大值和最小值；（2若点A是⊙O上一点，AC＝CB，如图所示，D、E分别是半径OA、OB的中点，连结CD，CE.求证：CD＝CE.36.如图，已知A、B、C、D是⊙O上四点，点E在弧AD上，连结BE交AD于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E，求证AQ＝BC.37.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.（1）求证：AC＝AE；（2）若AC＝6，CB＝8，求△ACD外接圆的半径.38.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）. （1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长.答案与解析一、选择题1﹒【知识点】圆的确定.【分析】确定圆的两个要素：一是圆心（确定圆的位置），二是半径（确定圆的大小），这两个要素缺一不可，据此判断即可.【解答】A.以已知点O为圆心，缺少确定圆的大小的半径，故A选项错误；B.以点O为圆心，2cm长为半径，符号确定圆的条件，故B选项正确；C.以2cm长为半径，缺少确定圆位置的圆心，故C选项错误；D.经过已知点A，且半径为2cm，缺少确定圆位置的圆心，故D选项错误.故选：D.2﹒【知识点】圆的认识；圆的基本性质.【分析】注重理解：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径；圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，能够重合的圆弧叫做相等的弧，根据弦、弧的定义、以及圆的性质即可解答．【解答】A.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，是真命题，故此说法正确；B.半圆是弧，但弧不一定是半圆.半圆是弧，但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确；C.直径是弦，并且是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；D.长度相等的两条弧是等弧，能够重合的圆弧才叫等弧，是假命题，故此说法错误.故选：D.3﹒【知识点】点与圆的位置关系．【分析】点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P 在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．故选C．4﹒【知识点】图形的旋转；直角三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心.图形旋转的性质：①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.根据旋转的性质知：∠BAD＝∠CAE＝65°，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，然后由直角三角形的性质可得∠B＝∠D＝25°再根据三角形内角和定理求∠DAE，即可得出答案.【解答】由旋转的性质，得：∠BAD＝∠CAE＝65°，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，∵AD⊥BC，∴∠B＝∠D＝90°－65°＝25°，∴∠DAE＝180°－70°－25°＝85°，∴∠BAC＝85°，故选：C.5﹒【知识点】垂径定理；等腰直角三角形．【分析】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．【解答】如图所示：连接OA，OB，∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，∴DO＝DB，DO⊥AB，∴∠BOC＝∠B＝45°，则∠A＝∠AOC＝45°，∴∠AOB＝90°．故选：D．6﹒【知识点】垂径定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．【分析】圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.首先连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，由圆周角定理可求得∠AOC 的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC 的一半，由此得解．【解答】连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，∵∠AOC ＝2∠B ，且∠AOD ＝∠COD ＝12∠AOC ， ∴∠COD ＝∠B ＝60°；在Rt △COD 中，OC ＝4，∠COD ＝60°，故选A ．7﹒【知识点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】A .应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B .三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；C .同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D .同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．故选A ．8﹒【知识点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】由题意知OD ⊥AB ，交AB 于点C ，由垂径定理可得出BC 的长，在Rt △OBC 中，根据勾股定理求出OC 的长，由CD ＝OD ﹣OC 即可得出结论．【解答】由题意知：OD ⊥AB ，交AB 于点E ，∵AB ＝16，∴BC ＝12AB ＝12×16＝8， 在Rt △OBE 中，∵OB ＝10，BC ＝8，∴OC6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选B．9﹒【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量都相等.如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，∴AD＝CD＝BC，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．故选：D．10.【知识点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量都相等.由AE＝BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】∵AE＝BD，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°，∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选D．11.【知识点】圆周角定理．【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，再利用互余得∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°，∴∠DBA＝∠ACD＝70°，故选D．12.【知识点】圆周角定理；三角形外角的性质．【分析】解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数．【解答】∵AB和CD所对的圆心角分别为90°和50°，∴∠A＝25°，∠ADB＝45°，∵∠P+∠A＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB﹣∠P＝45°﹣25°＝20°．故选D．13.【知识点】三角形的外接圆与外心．【分析】经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.注意：直角三角形的外心就是它的斜边的中点．根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．【解答】∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，∴该三角形是直角三角形．故选：B．14.【知识点】三角形的外接圆与外心；含30°角的直角三角形；勾股定理．【分析】直角三角形的斜边即为它的外接圆的直径，在同圆中，直径等于半径的2倍.设BC ＝x ，则AB ＝2x ，然后根据勾股定理求出x 即可.【解答】BC ＝x ，则AB ＝2x ，∵∠C ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2，即2+x 2＝(2x )2，15.【知识点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【分析】延长AO 交BC 于点D ，连接OB ，则AD 一定是等腰直角△ABC 的高线，利用三线合一定理即可求得BD ，OD 的长，然后利用勾股定理即可求得半径OB 的长．【解答】延长AO 交BC 于点D ，连接OB ．∵△ABC 是等腰直角三角形，圆心O 一定在BC 的中垂线上，∴AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3， ∴OD ＝AD ﹣OA ＝3﹣2＝1，在Rt △ODB 中，OB ．故选A ．16.【知识点】平面镶嵌（密铺）．【分析】此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，对于一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，依此即可得出答案．【解答】A .正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B .正四边形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；C .正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；D .正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选C ．17.【知识点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝180πn R .如果四边形的各顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆，圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.连接OA 、OC ，然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数，最后根据弧长公式求解．【解答】连接OA 、OC ，∵∠B ＝135°，∴∠D ＝180°﹣135°＝45°，∴∠AOC ＝90°，则AC 的长＝902180π⨯＝π． 故选：B ．18.【知识点】弧长的计算．【分析】根据弧长的计算公式直接解答即可．19.【知识点】扇形面积的计算．【分析】如果扇形的半径为R ，圆心角为n °，扇形的弧长为l ，那么扇形面积S 的计算公式为：S ＝2360πn R ＝12lR .连接AD ，因为△ABC 是等腰直角三角形，故∠ABD ＝45°，再由AB 是圆的直径得出∠ADB ＝90°，故△ABD 也是等腰直角三角形，所以AD ＝BD ，S阴影＝S △ABC ﹣S △ABD ﹣S 弓形AD由此可得出结论．【解答】连接AD ，OD ，∵等腰直角△ABC 中，∴∠ABD ＝45°．∵AB 是圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴△ABD 也是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ，∵AB ＝8，∴AD ＝BD ＝∴S 阴影＝S △ABC ﹣S △ABD ﹣S 弓形AD＝S △ABC ﹣S △ABD ﹣（S 扇形AOD ﹣ S △ABD ）＝12×8×8﹣12×2904360π⨯+12×12×＝16﹣4π +8＝24﹣4π．故选A ．20.【知识点】扇形面积的计算；垂径定理；等边三角形的性质；勾股定理．【分析】连接OB 、OD ，先利用正三角形的性质求出∠BAD ＝60°，然后利用等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，求出∠BOD ＝120°，利用勾股定理求得AF ＝6，设⊙O 的半径为R ，则OF ＝6－R ，再用勾股定理求出圆的半径，最后根据S 阴影＝S 扇形﹣S △BOD 即可求得阴影的面积．【解答】连结OB ，OD ，∵△ABD 是⊙O 的内接正三角形，∴AB ＝AD ＝BD ＝BAD ＝60°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝120°，∵AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，∴BF ＝DF ＝在Rt △ABF 中，AF 6，设⊙O 的半径为R ，则OF ＝6－R ，在Rt △OBF 中，BF 2+OF 2＝OB 2，即2+(6－R )2＝R 2，解得：R ＝4，∴OF ＝6－R ＝2，∴S 阴影＝S 扇形OBD ﹣S △BOD ＝21204360π⨯﹣12×2＝163π- 故选D ．二、填空题21.【知识点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键．点与圆的位置关系有3种：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：①点P 在圆外d ＞r ；②点P 在圆上d ＝r ；③点P 在圆内d ＜r ．首先求得点O 与圆心P 之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O 与圆的位置关系．【解答】由勾股定理得：OP 5，∵⊙P 的半径为5，∴点O 在⊙P 上．故答案为：点O 在⊙P 上．22.【知识点】点与圆的位置关系．【分析】过点P 最长的弦就是过点P 的直径，过点P 最短的弦就是过P 点与OP 垂直的弦，利用勾股定理可以求出最短的弦．【解答】如图，AB 是过点P 最长的弦，是圆的一条直径，所以AB ＝10cm ．CD 是过点P 最短的弦，CD ⊥OP ，在Rt △OPD 中，PD 2＝OD 2﹣OP 2＝25﹣9＝16cm ，∴PD ＝4cm ，∴CD ＝8cm ．故答案是：8cm ．23.【知识点】圆的认识；三角形内角和定理．【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了三角形内角和定理．由半径相等得CB ＝CD ，则∠B＝∠CDB，在根据三角形内角和计算出∠B＝12(180°﹣∠BCD)＝70°，然后利用互余计算∠A的度数．【解答】∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，∴∠B＝12(180°﹣∠BCD)＝12(180°﹣40°)＝70°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．故答案为：20°．24.【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦间的关系．本题利用了一个周角是360°求得所求弦所对的圆心角的度数．如图所示：首先作辅助线连接OA，OB，过O作OD⊥AB．根据特殊角的三角函数值求得AD的长度；然后由垂径定理求得AB的长度．【解答】连接OA，OB，过O作OD⊥AB．∵一条弦把圆分成5：1两部分，∴∠AOB＝60°，∴∠2＝∠1＝30°；又∵OD⊥AB，OA＝2cm，∴AD＝12OA＝1cm，∴AB＝2AD＝2cm．故答案是：2cm．25.【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】先连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB的度数，继而求得∠ABD的度数，由圆的内接四边形的性质，求得∠C的度数，然后由点C为BD的中点，可得CB＝CD，即可求得∠CBD的度数，继而求得答案．【解答】连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝50°，∠C ＝180°﹣∠A ＝140°，∵点C 为BD 的中点，∴CD ＝CB ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝20°，∴∠ABC ＝∠ABD +∠CBD ＝70°．故答案为：70°．26.【知识点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．【解答】∵OD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3， ∵OB ＝12AB ＝5，∴OD 4．故答案为4．27.【知识点】垂径定理；勾股定理．【分析】垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．先根据垂径定理得到BC ＝AC ＝2，然后根据勾股定理可计算出OB ．【解答】∵OC ⊥弦AB 于点C ，∴BC ＝AC ＝12AB ＝12×4＝2， 在Rt △OBC 中，OC ＝1，BC ＝2，∴OB28.【知识点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．【解答】∵圆内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝74°，∴∠ADC ＝180°﹣74°＝106°．∵点B 是ABC 的中点，∴AB BC =，∴∠ADB ＝∠BDC ＝12∠ADC ＝53° 故答案为：53°．29.【知识点】弧长的计算；正多边形和圆．【分析】将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质． 求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．【解答】∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB ＝16×360°＝60°， AB 的长＝601180π⨯＝3π． 故答案为：3π．30.【知识点】扇形面积的计算．【分析】连结AD ．根据图中阴影部分的面积＝△ABC 的面积﹣△ACD 的面积﹣扇形ADE 的面积，列出算式即可求解．【解答】连结AD ．∵Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝4，∴∠C ＝60°，AB ＝∵AD ＝AC ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAE ＝30°，∴S 阴影＝4×2﹣4×2﹣2304360π⨯＝43π．故答案为：43π．三、解答题31.【知识点】圆的认识；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．可以利用角平分线定理的逆定理证明角的平分线．作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，由∠BAD＝∠CAD，根据圆周角定理得CD弧＝BD弧，由DE∥AB 得∠ADE＝∠BAD，得到AE＝BD，所以AE＝CD，则AC＝ED，根据圆心角、弦、弧的关系得到AC＝DE，然后根据在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弦心距相等得到OM＝ON，再根据角平分线定理的逆定理可判断OP平分∠APD．【解答】证明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵CD＝BD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴AE＝BD，∴AE＝CD，∴AE+EC＝EC+CD，即AC＝ED，∴AC＝DE，∴OM＝ON，∴OP平分∠APD．32.【知识点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB ＝∠BOE，则可证得：BD BE=．【解答】证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，.∴BD BE33.【知识点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF＝DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD＝CD，可证明结论；【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，又∵∠BED＝∠CEF＝90°∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形.34.【知识点】圆周角定理．【分析】（1）由∠D＝70°，可求得∠AOD的度数，由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C＝90°，又由OD∥BC，证得OD⊥AC，然后由垂径定理求得AD＝CD，再由圆周角定理求得∠CAD的度数；（2）由垂径定理可求得AE的长，然后设OA＝x，则OE＝OD﹣DE＝x﹣2，在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，可得方程(x ﹣2)2+42＝x2，解此方程即可求得答案．【解答】（1）∵OA＝OD，∠D＝70°，∴∠OAD＝∠D＝70°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠D＝40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°，∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，即OD⊥AC，∴AD＝CD，∴∠CAD＝12∠AOD＝20°；（2）∵AC＝8，OE⊥AC，∴AE＝12AC＝4，设OA＝x，则OE＝OD﹣DE＝x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，∴(x﹣2)2+42＝x2，解得：x＝5，∴OA＝5，∴AB＝2OA＝10．35.【知识点】点与圆的位置关系；圆心角、弧、弦的关系．【分析】此题考查了点与圆的位置关系及圆周角定理，（1）的解题关键是：弄清P A取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时；P A取得最小值是当点P在线段OA上时．（1）先由直径为10cm，可求半径为5cm，P A取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时，由OA＝12cm，可得P A的最大值为12+5＝17cm，P A取得最小值是当点P在线段OA 上时，可得P A的最小值为12﹣5＝7cm；（2）连接CO，由D、E分别是半径OA和OB 的中点，可得OD＝OE，由AC＝CB，可得∠COD＝∠COE，然后根据SAS可证△COD≌△COE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到CD＝CE．【解答】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为10÷2＝5（cm），当点P在线段OA的延长线上时，P A取得最大值，当点P在线段OA上时，P A取得最小值，∵OA＝12cm，∴P A的最大值为12+5＝17cm，P A的最小值为12﹣5＝7cm；（2）证明：连接CO，如图所示，∵OA＝OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD＝OE，又∵AC＝CB，∴∠COD＝∠COE，又∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．36.【知识点】圆周角定理的应用．【分析】（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（2）平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；（3）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．首先根据圆周角定理，可得∠A＝∠E，再根据∠CQD＝∠E，可得∠CQD＝∠A，所以AB∥CQ；然后根据圆内接四边形的性质，∠AQE ＝∠EDC，判断出BC∥AQ，即可判断出四边形ABCQ是平行四边形，所以AQ＝BC．【解答】证明：如图：∵∠CQD＝∠E，∠A＝∠E，∴∠CQD＝∠A，∴AB∥CQ，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠EBC+∠EDC＝180°，∵∠AQB+∠AQE＝180°，∴∠EBC+∠EDC＝∠AQB+∠AQE，∵∠AQE＝∠EDC，∴∠EBC＝∠AQB，∴BC∥AQ，又∵AB∥CQ，∴四边形ABCQ是平行四边形，∴AQ＝BC．37.【知识点】三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；勾股定理．【分析】（1）由∠ACB＝90°，可得AD是直径，可得△ADE为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS可证两三角形全等，即可得AC＝AE，也可用角的平分线的性质定理：角的平分线上任意一点到角的两边距离相等；（2）先根据勾股定理求出AB的长，由（1）知，AC＝AE，CD＝DE，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理求出x的值，同理，在Rt∠ACD中求出AD的长，再用半径等于直径的一半即可．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AD为圆的直径，∴∠AED＝90°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，又∵∠ACB＝∠AED，AD＝AD，∴△ACD≌△ADE（AAS），∴AC ＝AE ．（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，∴AB 10．∵由（1）知，AC ＝AE ，CD ＝DE ，∠ACD ＝∠AED ＝90°，∴设CD ＝x ，则BD ＝8﹣x ，BE ＝AB ﹣AE ＝10﹣6＝4，在Rt △BDE 中，BE 2+DE 2＝BD 2，即，42+x 2＝(8﹣x )2，解得x ＝3．在Rt △ACD 中，AC 2+CD 2＝AD 2，即，62+32＝AD 2，解得AD ＝∴△ACD 外接圆的半径＝2AD ＝． 38.【知识点】正多边形和圆．【分析】根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答本题的关键．（1）连接OB ，OC ，由正方形的性质知，△BOC 是等腰直角三角形，根据∠BOC ＝90°，由圆周角定理可以求出；（2）过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE ＝BE ，由垂径定理可知BC ＝2BE ，故可得出结论．【解答】（1）连接OB ，OC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC ＝3604︒＝90°， ∴∠P ＝12∠BOC ＝45°； （2）过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∵OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∴∠OBE ＝45°，∴OE ＝BE ，在Rt △OBE 中，OE 2+BE 2＝OB 2，∴BE∴BC ＝2BE ＝2×．。