1
（Ⅰ）求 m 2 与 n 2 的关系； （Ⅱ）存在一点 Q a,0 a 0 ,使得 QM 的最小值是
7 ，求 a 的值。 2
8. 数列 an 满足 an 1
1 n 2 , a1 2 。已知 an 的通项可以表示成 an 1
A sin n B 的形式，求 an 的一个表达式。 9. 已知 A x x 2 2 x 3 0 , B x x 2 ax b 0 , A B R ， A B 3,5 ，求 a b 的值。 10. 圆心在 0,1 的单位圆沿 x 轴正向滚动，初始时刻 P0,0 。当圆心滚动至 ( ,1) 2
4. 已知椭圆 C :
AC BD ， 点， 直线斜率为 1 ， 过 F1 做直线与椭圆交于 B 、 求四边形 ABCD D 两点，
的Байду номын сангаас积。
1 x M ， MN x f M x f N x 1 ， 5. 定义 f M 1 x M A x x k , k N ,1 k 2016， B x x 2k , k N 。
（Ⅰ）求 f A 2016 ， f B 2016 ； （Ⅱ）设 card X 为集合 X 的元素个数，求 J card XA card XB 的最小值。
6. 在立方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 在 A1 B1C1 D1 面内有一点 M ， 使得 BM ∥面 AD1C ,
求 tan D1MD 的最大值。
7. 已知圆 C : x 2 y 2 16 ， A 、 B 为圆与 x 轴的交点 x A xB 。 l1、l2 是 A 、 B 处
的切线， P 为圆上一个不与 A 、 B 重合的点，过 P 点的切线交 l1、l2 于 C 、 D 两 点。 AC 与 BD 交于点 M m, n 。
12. 已知等差数列 an 及其前 n 项的和 S n , S105 2016 ， S 2016 105 ，求 S 2121 。
2





时，求此时的 OP 。
11 . 已知 f x A sin x B ，部分自变量、相位、函数值的取值如下表。 x
3
0 1
7 12
n
f x
2 3
2
6
（Ⅰ）求 f x 的表达式； （Ⅱ）求 f x 的增区间； （Ⅲ）求 f x 在 0, 内的所有零点。
2016 年清华大学暑期学校 数学真题
2016 年清华大学暑期学校数学真题
1. 已知 0 log a 1 ，且 a 1 ，求 a 的取值范围。
2. 在锐角 ABC 中， a 7 ， b 3 ， sin A 7 sin B 2 3 ，求三角形的面积。 3. L 为 C : y a ln x 在 l , a 处的切线。 x （Ⅰ）求 L 的解析式； （Ⅱ）求证：当 a 1 时， L 除切点外恒在 C 的上方。 x2 y2 C两 过 F2 做直线与椭圆交于 A 、 1 的左右焦点为 F1 和 F2 ， 3 2