现代信号处理复习题Revised on November 25, 20201、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；（2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。

解：（1）000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dte e e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰ 上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）00ˆ()()()2cos()()()2cos(),a a n n xt x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞∑∑ 2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数： （1）最小记录时间min p T（2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。

解：（1）已知50F Hz ≤（2） max 3min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。

某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。

问：他的目的能达到吗答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。

采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz NfN f s s 10022== 一点也没有变。

所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(NN ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。

4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用解：在D A / 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在A D / 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、已知10,)1)(1(1)(12<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。

解： )(z H 的极点为1,z a z a -==，（1） 收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。

其单位脉冲响应()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。

其单位脉冲响应()n h n a =，这是一个收敛的双边序列。

9：若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部为()1cos()j R H e ωω=+，求序列的()h n 及其傅里叶变换()j H e ω 。

解：11()1cos()1[()]()22j j j j n R e e n H e e e FT h n h n e ωωωωω∞--=-∞=+=++==∑10、什么是宽平稳随机过程什么是严平稳随机过程它们之间有什么联系答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。

所谓严平稳随机过程是指它的任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。

15、如图所示：（1估计 （2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。

（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。

（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。

解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。

2.图中所示的是周期图法3. 1*1ˆ()()()N m xx n rm x n x n m N=-==+∑ˆˆ()()j j n BTxxm P e r m e ωω∞-=-∞=∑周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT 进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。

改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。

16、如图所示的RC 电路，若输入电压的功率谱密度为X （ω），求输出电压的功率谱密度 Y （ω）。

解：RC 电路系统的频率响应函数为H （ω） = C j R C j ωω11+= 11+RC j ωH （ω）2=1)(12+RC ω由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：Y （ω） = H （ω）2* X （ω）=1)()X(2+RC ωω17、已知LTI 系统的传输函数为h （t ），输入是实平稳随机过程X （t ），输出是Y （t ），求)()()(t h R R Y X 和、ττ三者间的关系解：平稳随机过程经过LTI 系统输出还是平稳随机过程，所以 其中⊗是卷积运算。

18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。

为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。

常用的自适应滤波理论与算法有： （1）、基于维纳滤波理论的方法。

（2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。

（3）、基于最小均方误差准则的方法。

（4）、基于最小二乘准则的方法。

RC Y(ω)X(ω)22、从最速下降法出发：其中，1j W + 是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量， μ 控制收敛稳定性和速率，∇ 是误差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS 算法。

解答：梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P 以及初级输入的自相关R 之间的关系为：∇=2+2RW P -在LMS 算法中，使用∇的瞬时估计，则有j ∇ =-2j P +2j R j W =-2j X j y +2j X T j X j W (1) =-j j 2()2j j j j X y X W e X -=- 其中 T j j j j e y X W =-用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS 算法：其中j e =yT jj j W X -23、自适应滤波器的特点及应用范围答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。

当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。

例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。

25、怎样判断随机过程}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程并证明随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ是宽平稳过程，其中，Y , Z 是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。

答：（1）如果)(t X 满足，如下条件： （a ）}),({T t t X ∈是二阶矩过程；（b ）对任意T t ∈，==)()(t EX t m X 常数；（c ）对任意T t s ∈,，)()]()([),(t s R t X s X E t s R X X -==。

则判定}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。

（2） 证明：因为Y,Z 是相互独立的随机过程，且2,0σ====DZ DY EZ EY ，所以 )]([2t X E =+∞<2σ 0)sin(][)cos(][)]sin()cos([)(=+=+=t Z E t Y E t Z t Y E t EX θθθθ=常数 )](cos[)]sin()sin())(sin()cos()cos([))]sin()cos(())sin()cos([()]()([),(222t s t s Z s t YZ t s Y E t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s R X -=+++=+⨯+==θσθθθθθθθθθ，),(t s R X 只与时间间隔有关，与时间起点无关。

所以，}),({T t t X ∈是宽平稳随机过程。

26、若}),({T t t X ∈为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数)(τX R 具有那些常用性质)(τX R 在计算其功率谱)(ωX S 时有什么作用 答：（1）)(τX R 具有如下常用性质： （a ）;0)0(≥X R（b ）)(τX R =)(τ-X R ，)(τX R 是实偶函数； （c ）|)(τX R |≤)0(X R ；（d ）若)(t X 是周期为T 的周期函数，即)(t X =)(T t X +，则)()(T R R X X +=ττ；（e ）若)(t X 是不含周期分量的非周期过程，当+∞→||τ时，)(t X 与)(τ+t X 相互独立，则___||)(lim X X X m m R =+∞→ττ。