.《概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件A,B 仅发生一个的概率为0.3，且P(A)P(B)0.5，则A,B 至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.9 解：P(ABAB)0.3即0.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)0.52P(AB)所以P(AB)0.1P(AB )P(AB)1P(AB)0.9.2．设随机变量X 服从泊松分布，且P (X1)4P(X2)，则P(X3)______.答案：1 6e 1 解答：2P (X 1)P (X 0)P(X1)ee,P(X2)e22由P(X1)4P(X2)知ee2e2 即210解得1，故1 P(X3)e61 3．设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量2 YX 在区间(0,4)内的概率密度为f Y (y)_________. 答案：1f(y)F(y)f(y ) YYX2y41 ,0y4, y 0,.其它解答：设Y 的分布函数为F Y (y),X 的分布函数为F X (x)，密度为f X (x)则2F(y)P(Yy)P(Xy)P(yXy )F(y )F(y ) YXX因为X~U(0,2)，所以F(y )0，即F Y (y)F X (y )X教育资料. 故1f(y)F(y)f(y ) YYX2y41 ,0y4, y 0,其它.另解在(0,2)上函数2 yx 严格单调，反函数为h(y)y所以f(y)f(y) YX2 1 y41 ,0y4, y 0,其它.4．设随机变量X,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，2P(X1)e ，则_________，P{min(X,Y)1}=_________.答案：2， -4 P{min(X,Y)1}1e 解答：2P(X1)1P(X1)ee ，故2P{min(X,Y)1}1P{min(X,Y)1}1P(X1)P(Y1)4 1e.5．设总体X 的概率密度为(1)x,0x1,f(x)1. 0,其它X 1,X 2,,X 是来自X 的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.n答案：$ 1n i n1 ln 1 x i1 解答： 似然函数为n nL (x ,L,x;)(1)x(1)(x,L ,x)1ni1ni1nlnLnln(1)lnxii1n dlnLn d1i1lnx@0i解似然方程得的极大似然估计为教育资料$ 1n i n1 ln 1 x i1. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C 为三个事件，且A,B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若P(C)1，则AC 与BC 也独立. （B ）若P(C)1，则A U C 与B 也独立. （C ）若P(C)0，则A U C 与B也独立.（D ）若CB ，则A与C 也独立.（）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ） 都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.SAB C2．设随机变量X~N(0,1),X 的分布函数为(x)，则P(|X|2)的值为 （A ）2[1(2)].（B ）2(2)1. （C ）2(2).（D ）12(2).（）答案：（A ）解答：X~N(0,1)所以P(|X|2)1P(|X|2)1P(2X2)1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 （A ）X 与Y 独立.（B ）D (X Y)DXDY. （C ）D(XY)DXDY.（D ）D(XY)DXDY.（）教育资料答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（x，y）0 D(X Y)DXDY+2cov（x，y）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P 1111 69183若X,Y独立，则,的值为（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.（）答案：（A）解答：若X,Y独立则有P(X2,Y2)P(X2)P(Y2)Y 123X1 2 111169183113311129181121()()()393921，99故应选（A）.5．设总体X的数学期望为,X1,X2,L,X n为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量.（B）X1是的极大似然估计量.（C）X1是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.（）答案：（A）解答：EX，所以X1是的无偏估计，应选（A）.1三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.5，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，教育资料.求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（1）P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.90.950.10.020.857.（2）P(AB)0.90.95P(B|A)0.9977P(A)0.857.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为23kk3kP(Xk)C()()k0,1,2,3.355X0123即P2754368 125125125125X的分布函数为0,x0,27125,0x1,81F(x),1x2,125117125,2x3,1,x3.EX26 3,55 2318DX3.5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|x0,y0,xy1}上服从均匀分布.求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.教育资料.解：（1）(X,Y)的概率密度为y1x+y=1 f(x,y)2,(x,y)D0,.其它D D1x0z1x+y=z f(x)f(x,y)dyX22x,0x10,其它（2）利用公式f Z(z)f(x,zx)dx其中f(x,zx)2,0x1,0zx1x0,其它2,0x1,xz1. 0,其它.当z0或z1时f Z(z)0zz=x0z1时zzf(z)2dx2x2zZ故Z的概率密度为x f(z)Z 2z,0z1, 0,其它.Z的分布函数为0,z00,z0,zz2f(z)f(y)dy2ydy,0z1z,0z1,ZZ1,z1.1,z1或利用分布函数法0,z0,F(z)P(Zz)P(XYz)2dxdy,0z1,ZD11,z1.0,z0,2z,0z1,1,z1.f(z)F(z) ZZ 2z,0z1,0,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相222互独立，且均服从N(0,2)分布.求（1）命中环形区域D{(x,y)|1xy2}的教育资料.概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY 的数学期望.解：（1）P{X,Y)D}f(x,y)dxdyyD012xD11 2482 1222 rr 2r11 ed ()eee ； 888281（2） 22 xy222218EZE(XY)xyedxdy822 rr112882 rerdrderdr84000222 rrr 21888 reedredr2.0 022七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ） 2 X~N (,)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值x10，样本方差20.16 s.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设 2 H 0:0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t0.05(16)1.746,t0.05(15)1.753,t0.025(15)2.132,2220.4(16)26.296,0.05(15)24.996,0.025(15)27.488.解：（1）的置信度为1下的置信区间为ss(X t(n1),Xt(n1))/2/2nnX10,s0.4,n16,0.05,t(15)2.1320.25所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2H0:0.1的拒绝域为22(n1).教育资料.因为2215S2151.6240.05(15)24.996，0.5222424.996(15)，所以接受H.0.260教育资料。