一、选择题
1．函数y ＝2－x lg x
的定义域是( ) A ．{x |0<x <2}
B ．{x |0<x <1或1<x <2}
C ．{x |0<x ≤2}
D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}
解析：要使函数有意义只需要 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，x >0，
lg x ≠0，
解得0<x <1或1<x ≤2，
∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}．
答案：D
2．(2011·四川高考)函数y ＝(12)x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )
解析：原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排除B 、C 、D.也可以直接求出反函数，对照选项选择．
答案：A
3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52
)＝( ) A ．－12 B ．－14
C.14
D.12
解析：依题意得，f (－52)＝－f (52)＝－f (52
－2)＝ －f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12
. 答案：A
4．若函数f (3sin x cos x ＋3sin 2x )的定义域为[π2，2π3
]，则f (x )的定义域为( ) A ．[0，32
] B ．[1,2] C ．[32，3] D ．[1，log 25]
解析：令t ＝3sin x cos x ＋3sin 2x ＝32sin2x ＋3×1－cos2x 2 ＝3(12sin2x －32cos2x )＋32 ＝3sin(2x －π3)＋32
. ∵函数f (3sin x cos x ＋3sin 2x )的定义域为[π2，2π3
]， ∴π2≤x ≤2π3
. ∵2x －π3∈[2π3，π]，sin(2x －π3)∈[0，32
]． ∴t ＝3sin(2x －π3)＋32∈[32
，3]． ∴函数f (x )的定义域为[32
，3]． 答案：C
二、填空题
5．(2011·浙江高考)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.
解析：由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0.
答案：0
6．定义映射f ：(x ，y )→(x ，y )，△OAB 中O (0,0)，A (1,3)，B (3,1)，则△OAB 在映射f 的作用下得到的图形的面积是________．
解析：线段OA 满足y ＝3x (0≤x ≤1)，线段OA 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，3x )，设为(x ′，y ′)，则x ′＝x ，y ′＝3x ，故y ′＝3x ′(0≤x ′≤1)，仍为线段；
线段OB 满足y ＝13x (0≤x ≤3)，线段OB 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，3x 3
)，仍为线段且满足y ′＝33
x ′(0≤x ′≤3)；线段AB 满足y ＝4－x (1≤x ≤3)，线段AB 上的点(x ，y )在映射f 的作用下为(x ，4－x )，满足x ′2＋y ′2＝4(1≤x ′≤3，1≤y ′≤3)，是一
段圆弧，故所围成的圆形是半径为2，圆心角为π6的扇形，面积为π3. 答案：π3
7．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，则关于a 的不等式f (4a －1)>f (1)的解集为________．
解析：∵函数f (x )＝log a |x ＋1|在区间(－2，－1)上恒有f (x )>0，∴0<a <1，且该函数在区间(－∞，－1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又∵f (4a －1)>f (1)，且4a －1>0，∴4a
－1<1，即22a <2，得2a <1，解得a <12，∴关于a 的不等式f (4a －1)>f (1)的解集为(0，12
)． 答案：(0，12
) 三、解答题
8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，x ∈[1，＋∞)， (1)当a ＝12
时，求函数f (x )的最小值． (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x
＋2. 求导，得f ′(x )＝1－12x 2
， 在[1，＋∞)上恒有f ′(x )>0，
故f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72
. (2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x
>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立， 设g (x )＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，
配方，得g (x )＝(x ＋1)2＋a －1，
显然g (x )在[1，＋∞)为增函数．
故在区间[1，＋∞)上，要使x 2＋2x ＋a >0恒成立，只要g (1)>0即可．
由g (1)＝3＋a >0，解得a >－3.
故实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
9．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174
. (1)求a 、b 、c 的值；
(2)试讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；
(3)试求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值．
解：(1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.
即－ax －b x ＋c ＋ax ＋b x
＋c ＝0，∴c ＝0. 由f (1)＝52，f (2)＝174
， 得a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，解得a ＝2，b ＝12
. ∴a ＝2，b ＝12
，c ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝2x ＋12x
， ∴f ′(x )＝2－12x 2＝(x －12)(2x ＋1)x 2
. 当x ∈(0，12
)时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在(0，12
)上为减函数． 当x >12
时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(12
，＋∞)上为增函数． (3)由(2)知x ＝12
是函数的最小值点， 即函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (12
)＝2. 10．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当－1≤x ≤1，f (x )＝x 3.
(1)求证：x ＝1是函数y ＝f (x )的一条对称轴；
(2)当x ∈[1,5]时，求f (x )的表达式．
解：(1)证明：因为f (x )为奇函数，
所以－f (x )＝f (－x )．
因为f (x ＋2)＝f (－x )，
所以f [(x －1)＋2]＝f [－(x －1)]．
即f (1＋x )＝f (1－x )，
所以直线x ＝1是函数f (x )图像的一条对称轴．
(2)因为f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数．
又－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，
当x ∈[1,3]时，x －2∈[－1,1]，
所以f (x )＝f (x －2＋2)＝－f (x －2)＝－(x －2)3. 当x ∈(3,5]时，x －4∈(－1,1]，
所以f (x )＝f (x －4＋4)＝f (x －4)＝(x －4)3. 所以当x ∈[1,5]时，f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(x －2)3，x ∈[1，3]，(x －4)3，x ∈(3，5].。