2 )2
材料力学
整理可得：
(


x

2
y
)2
2


(
x

2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标

(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径

(
x

2
y
)2

2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2

(
x

2
y
)2

2 x
材料力学
方法一：
27.5
x

2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5

x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF

、纵坐标
y
FDy

y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y

x
y
x
x
y

F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
应力圆圆周上的点。
材料力学
2.应力圆画法
画法1：利用圆心坐标和半径画应力圆
圆心

(
x

y
,0)
2
半径

(
x

2
y
)2

2 x


(
x

2
y
)2


2 x

x y
2
材料力学
画法2：先选定比例尺，单元体上x平面上的应
力对应-坐标系中的Dx点，Dx点的横
坐标 OK x , 纵坐标为x；单元体上y平面
材料力学
并注意到x与y数值相等。
2 x sin cos x cos2 y sin2

x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
(8-1)
同理，利用 Ft 0 ，可得：


x
y
2
sin 2
x
cos 2
(8-2)
dz
y
dx dy x
x面、y面、z面
材料力学
当一个材料单元体的三个坐标平面 上的应力为已知时，总可以用截面法求 出任意方向面的应力，于是当材料单元 体三个坐标平面的应力已确定时，就称 该单元体的应力状态已确定。
材料力学
P
A
P

A


横截面

材料力学
B A

A
B

横截面
横截面 外轮廓线

材料力学
重申符号规定： ：拉应力为正，压应力为负。 ：顺时针为正，反时针为负。 ：从x轴正向逆时针转到截面外法线 方向为正，反之为负。
此处任意斜截面的意义，平行于Z轴 的任意斜面，该面外法线方向 n 与x轴夹 角为 ，称为面。
材料力学
例81 如图所示单元体，求 指定截面上的正应力和剪应力。
Dy F Dx K (| x || y |)
Dy FC Dx KC
FC KC OK OF x y
2
2
OC OF FC
y
x
y
2
x
y
2
C点为圆心

x y
Dx(x,x)
2
oF
y
Dy
(y,y)
x y
2
即可找到两个互相垂直的极值平面。一个
面上为极大值，另一个面上为极小值。
将
0

1 2
tg 1
2 x x
y
代入(8 1)式可得到
max
min
x y
2

(
x

2
y
)2

2 x
材料力学
② 当 d
d


2(
x

2
y
sin
2 0

x
cos
2 0
)

0
有
① 的极限


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d d


2(
x

y
2
令 sin 20 x cos 20 ) 0
(1)
整理可得：tg20



2 x x
y
(2)
材料力学

tg 2( 0


2
)

tg(20


)

tg
20
由(2)式可得出两个相差 的极限平面，
60.8MPa
材料力学
60


x

2
y
sin120

x
cos120
70 sin120 50cos120 2
55.3MPa
② 求主应力
tg 2 0

2 x x y

2 50 70
1.429
01 27.5
02 117 .5
面从x截面沿逆时针 方向转45，所以在 应力圆中从Dx开始逆 时针沿着圆周转圆心
Dy
(-60,30)
角2=90 , 得到点D 。 量得：
D
2=90
C oM

Dx
(40,-30)
D的横坐标 OM 1cm
45 20MPa
D的纵坐标 D M 2.5cm 45 2.5 20 50MPa
材料力学
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。
② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
材料力学
二、平面应力状态分析 解析法
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应 力，求任意方向面上的应力。
材料力学
最一般的情况：九个应力分量 六个独 立（剪应力互等）。
最常见的情况：有一对方向面上的应力 为零，单元体上所有的 应力在同一平面内，称 为平面应力状态。
将
1

1 2
tg 1

x 2 x
y
代入(8-2)式，可得：

max m in


（
x

2
y
）2
2 x
材料力学
例82 图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。 ① 求单元体上指定截面上的应力； ② 求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。
A
y
x
=70MPa
30
=50MPa
2
2
96MPa
=
26MPa
70MPa
y 0 x 70 26 96
角度确定了，大靠大，小靠小。
50MPa 96MPa 27.5
62.5 26MPa
材料力学
三、平面应力状态分析的图解法 应力圆
1.应力圆方程


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
应力状态分析
一、应力状态的概念 1.概念：
构件上不同的点有不 同的应 力 —— 应力为位置的函数。
材料力学
P
P
P
A
P
A
P

A
构件上同一点不同的方向面上应
力不尽相同 应力为方向面的函数。
材料力学
一点的各个方向面上的应力情况称 为该点的应力状态。
2.一点的应力状态的表示方法
单元体法：围绕一点取微小的正六面体 材料单元体 z
从 应 力 圆 的 Dx 点 依 照
单元体上角相同的转
F
向量取圆弧 Dx D ，使 o
其所对应的圆心角
DxCD为2
Dy
(y,y)
D点的横坐标 OM
D点的纵坐标 MD
D Dx(x,x)
2
x
CM K
n
y


x
y
x
x
y
材料力学
证明：
设 DxCK 20

材料力学
在-坐标系中，(3)式的轨迹为一个圆，称 为应力圆或莫尔圆。
应力圆的意义：一点的应力状态可用应力 圆来表示；任意斜截面上的正应力和剪应力为 -坐标系中的一个定点，所有这些点的轨迹为 一个圆(应力圆)，应力圆圆周上的任意一点的纵 横坐标代表单元体上某一斜截面上的应力。
即：单元体斜截面
y x
30MPa 40MPa
60MPa
材料力学
解：① 作应力圆

建立坐标系 选取比例尺
1cm=20MPa
Dy
(-60,30)
Co
定出 Dx(40，30) Dy(60，30)