二次根式
题型一 二次根式的定义
例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值． （2）当x __________时，式子3
1
-x 有意义． 题型二 二次根式有意义的条件
例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，22991
3
x x y x -+-+=
-，求5x+6y 的值．
例4、已知334y x x =-+-+，求
23
8163y y xy ++-的值。
例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简
()
()
2
2
223232a b a ab b +-
---+
例6、计算 （1）(
)
13
218---+ （2）()2
11111x x x ⎛⎫-•- ⎪-+⎝⎭
（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
例7、化简求值 （1）化简：()
2
2a a b c a b c -++
-++
（2）先化简再求值：2
22
11xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=- （3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1
(2-+x
x 等于（ ）
（A ）x 2 （B ）－x
2
（C ）－2x （D ）2x
（5）化简a
a 3
-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
（
6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A （2）x 8，
3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ） 题型五 二次根式的乘除法
例9、已知(m ⎛=⨯- ⎝⎭
，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5
例10、计算
（1）（235+-）（235--） （2）（a ＋
b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（3）（a 2
m n －m ab
mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n （4）（a ＋
b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（7题型六 分母有理化
A ．a=b
B ．ab=1
C ．ab=-1
D ．a=-b
A.题型七 同类二次根式
（2）ab 、
3
1
b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．（ ） 题型八 二次根式的加减法 例15、计算
－7114-
（3
（5）75.0125.2041
12
484--+- （6）题型九二次根式的混合运算
例16、计算
（4）（a 2
m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ； （5）（25＋1）（
2
11+＋321+＋431+＋…＋100991
+）．
题型十 二次根式的化简求值
（2
（3）已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值． （4）已知：,x y
为实数，且3y p
，化简：3y -
（5）当x ＝1－2时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a x +的值．
（6）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋2
2
1a
x +的值．
（7）若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋
21．求x y y x ++2－x
y
y x +-2的值． 课后作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A
、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、 2．二次根式(-3)2 的值是（ ）
（A ）-3 （B ）3或-3 （C ）3 （D ）9 3．下列各式计算正确的是（ ）
（A ）23+42＝6 5 （B ）27÷3＝3 （C ）33+32＝3 6 （D ）(-5)2 ＝-5 4 ） （A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）①④ 5．x ） （A ）x ＞1 （B ）x ≥1 （C ）x ＜0 （D ）x ≤0 6．计算8－（1－2）的结果是（ ）
（A ）32-1 （B ）32＋1 （C ）2-1 （D ）2＋1
7．已知实数a 、b 是一个（ ） （A ）非负数 （B ）正数 （C ）负数 （D ）以上答案均不对
b
O
3x 1-a 2-a
8．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．3392-•+=-x x x
B ．22)(a a =
C ．1122-=+-x x x
D ．22)5.2()5.2(=-
9．如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则
的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2-
10.
是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题（每题3分，共24分）
11．① (2 3 )2＝ ； ②．①=-2)3.0( ； 12．比较大小：4 3 5 2 ； 14．若1＜x ＜2，则化简
= . 1520x y +-=，则_________x y -=．
16a ，小数部分是b ，计算的值为_________。
17.若m<0，则332||m m m ++= 。
18.已知：K ,5
1
4513,413412,3
1
2311=+=+
=+
当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
三、解答题：(66分) 19．化简：（6分）
（1）500 （2）n m 218 20．计算（30分）
（1） (8＋23)× 6 （2） (80- 40)÷ 5
（3）（23+6）（23-6） （4） （5）28
4
)23()21(01--+
-⨯- （6） 20112010)23()23(+⋅- )323
1
25.0()4881(----22)1()2(x x ---
23．（8分）已知2x =求代数式246x x --的值是多少
22．（10分）若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求x
y 3的值。
24．（12分）阅读并完成下面问题：
①
12)
12)(12()12(12
11-=-+-⨯=
+
②
;
23)
23)(23(2
3231-=-+-=
+ ③ 25)
25)(25(2
52
51-=-+-=
+
试求： （1）
671+= ；（2）
17
231+= ；
（3）
n
n ++11
= （n 为正整数），本题给出求解过程。