江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试
高数 试题卷
一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。

在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）
1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.非充分非必要条件
2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( )
A.x x sin tan -
B.x x --+11
C.11-+x
D.x cos 1-
3.0=x 为函数)(x f =0
00
,1sin ,
2,1>=<⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-x x x x x e x
的（ ）
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.连续点
4.曲线x
x x x y 48
62
2++-=的渐近线共有（ ）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
5.设函数)(x f 在 点0=x 处可导，则有（ ） A.)0(')()(lim
f x x f x f x =--→ B.)0(')
3()2(lim 0f x
x f x f x =-→
C.)0(')0()(lim
f x f x f x =--→ D.)0(')
()2(lim 0f x
x f x f x =-→
6.若级数∑∞
-1
-n n
1p
n ）
（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ）
A. [)∞+，1
B.()∞+，1
C.(]1,0
D.()1,0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
7.设dx e x
x a x x
x ⎰∞-∞→=-)1(
lim ，则常数a= .
8.设函数)(x f y =的微分为dx e dy x
2=，则='')(x f .
9.设)(x f y =是由参数方程 {
13sin 13++=+=t t x t
y 确定的函数,则
)
1,1(dx
dy = .
10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则⎰
dx x xf )(= .
11.设 →
a 与 →
b 均为单位向量， →
a 与→
b 的夹角为3
π
，则→a +→b = .
12.幂级数 的收敛半径为 .
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
13.求极限x
x dt
e x
t x --⎰
→tan )1(lim 0
2
.
14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求22z
x
∂∂ .
n n x ∑∞
1-n 4
n
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15.求不定积分 dx x x ⎰
+3
2
.
16.计算定积分⎰
210
arcsin xdx x .
17.设),(2
xy y yf z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y
x ∂∂∂z
2
18.求通过点（1,1,1）且与直线1
1
2111-+=-=-+z y x 及直线{
12z 3y 4x 0
5=+++=-+-z y x 都垂直的直线方程.
19.求微分方程x y y y 332=+'-''是通解.
20.计算二重积分
dxdy y x
⎰⎰D 2，其中 D 是由曲线 1-=y x 与两直线1,3==+y y x 围
成的平面闭区域.
四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21.证明：当π≤<x 0时，2cos 2sin <+x x x .
22.设函数)(x f 在闭区间[]a a ,-上连续，且)(x f 为奇函数，证明： （1）⎰⎰--=0
)()(a
a
dx x f dx x f
（2）⎰
-=a
a
dx x f 0)(
五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）
23.设平面图形 D 由曲线 x
e y = 与其过原点的切线及 y 轴所围成，试求；
（1）平面图形D 的面积；
（2）平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
24.已知曲线)(x f y =通过点（-1,5），且)(x f 满足方程3
512)(8)(3x x f x f x =-'，试求：
（1）函数)(x f 的表达式；
（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点.
江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试
高数 试题卷答案
一、单项选择题 1-6 DBACD 解析： 二、填空题 7.-1 8.x
e 22 9.
3
1 10.c x x x +-sin cos 11.3 12.4
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三、计算题 13.1
14.3
2
)1(z zy
15.C x x x ++++-+39)3(25
)3(·235
16.
48
33π
- 17.222
21
2
222f xy f y f y ''+''+' 18.
2
13141-=-=-z y x 19.3
2
)2sin 2cos (21+
++=x x c x c e y x
20.2
11ln 102
-
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四、证明题
21.证：令2cos 1sin )(-+=x x x x f 则x x x x x f sin 2cos sin )(-+=' x x x x x x f cos 2sin cos cos )(--+='' x x sin -= 因为 π≤<x 0 所以 0)(<''x f
因为 ↓')(x f 所以 0)0()(='<'f x f 所以 ↓)(x f
因为 0)0()(=<f x f 所以得出
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22.证（1）
⎰⎰
--=--0
)()()(a
a
dt t f t d t f
⎰-=a
dt t f 0)( ⎰
-=a
dx x f 0
)(
（2）
dx x f dx x f dx x f a a
a
a ⎰⎰
⎰+=--0
)()()(
⎰⎰+-=a
dx x f dx x f 0
a
)()( = 0 五、综合题
23.（1）⎰⎰⎰-=-=1
21
01
02)(S x e e dx ex e x x
（2）
ππ2
1612-e 24.（1）3
53
8
4)(x x x f -=
拐点：（0,0）（1,3） 凹 ：（-∞，0）,（1，+∞） 凸 ：（0,1）
t x -=
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