x’3
e
' 3
e3
e1
e
' 1
e2' e2
x’2 x2
x1
x’1
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
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30
§2-3 应力分量转换公式
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
32
§2-3 应力分量转换公式
九个元素用矩阵表示
Qi'j Q
则新坐标基矢量用旧基矢量表示：
e '
Qe
ei' Qi' jej
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§2-3 应力分量转换公式
同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示
ei
Qij' e'j
Q ij' e ie 'j coxi,sx'j()
x xe xx yeyx ze z
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§2-2 应力矢量和应力张量
ti ijej
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z




31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
应力分量的正负：在正面上应力分量指向 坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分 量指向坐标负向为正，反之为负。
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3
§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
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4
§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
t( n ) n n i ie j j n j je i i
斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：
ti nj ji
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21
§ 2-2
应力矢量和应力张量



t( n ) n n i ie j j n j je i i
定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完 全由该点的应力张量线性表出。
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2019/9/26
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
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19
§2-2 应力矢量和应力张量
t(n)
n

[]为一二阶张量，
ijeiej

斜面上的应力矢量 t(n ) 沿正交坐标系分解 t(n) tiei
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§2-2 应力矢量和应力张量

根据柯西 公式
t(n) ti ei
引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
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7
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ P
F
n+ n-
V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线
代入上式，并忽略高阶微量
t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
C
t(n) Stini S0 -t(2)
f -t(1)
n
t(n)
或 t(n) niti
P A
x2 B
-t(3)
x1
展开为 t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
的面上的应力矢量t

(
n )；

（2）tn 的大小；（3）tn 与
n的夹角

（4）求t(n)的法向分量 n ；
（5）切向分量 n。
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26
作2.业在：P点两斜面法线向量n1和n2 ，证：
tn 1n2tn2n1（用指标符号证）。

n1
tn1
tn2
n2
n nnnniei
n t(n) n nnniijnj
x l 2 y m 2 z n 2 2 x y l m 2 y z m n 2 z x n l
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§2-2 应力矢量和应力张量
ntnntiein
tie in n ie i (tin n i)e i
ntn2n2 titi(ijn inj)2
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作业：
1 0 4
1。在物体中一点P的应力张量为




0
4
3 0
05，
求（1）过P点且外法线为

n12e112e2 12e3
（旧）第一个直角坐标系：
x3
e x i
i 1, 2, 3 x’3
i
（新）第二个直角坐标系：
' '
x e i i i 1,2,3 x1
e
'
3
e1
e3
e
' 19/9/26
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§2-3 应力分量转换公式
x3
ei ei' 1
新坐标基矢量由旧 坐标基矢量表示
九个元素用矩阵表示

Q
i j '
注意
Q i'jQ i'jTQ T
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§2-3 应力分量转换公式
Q i'jQ i'jTQ T
旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：
e QTe '
ei
Qij' e'j
n
、合力F；
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
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8
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。

lim 应力矢量（作用在V+）：




31 32 33 zx zy zz zx zy z
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§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
根据微元体的平衡，得
C

-t(2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
t(i) t(i)ti
A x1
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§2-2 应力矢量和应力张量
下面说明一下[]为张量：
ti ijej
t(n) niti niijej nkijkiej
(n kek)(ijeiej)n
由商法则可知 t(n) n
[]为一二阶张量
柯西公式（Canchy formula）
柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢
量关系t(n)
且
t(
n
)是以三个坐标分量表示.
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§2-2 应力矢量和应力张量
n 应力矢量也可沿斜面法向 和切向分解
tn nn
n 其中，斜面法向应力：
n
n
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§2-2 应力矢量和应力张量
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
t(x)lt(y)m t(z)n
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