章末检测卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是________推理． 答案 归纳2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为__________________．答案 三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为__________________． 答案 假设至少有两个钝角 4．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________． 答案2k ＋1k ＋2解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋k ＋1＝2k ＋1k ＋2. 5．已知f (x ＋1)＝2fxfx ＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为________． 答案 f (x )＝2x ＋1解析 当x ＝1时，f (2)＝2f 1f 1＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f 2f 2＋2＝24＝23＋1； 当x ＝3时，f (4)＝2f3f3＋2＝25＝24＋1， 故可猜想f (x )＝2x ＋1. 6．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4页，则这个数列的一个通项公式为________．答案 a n ＝3n －1(n ∈N *，n ≥1)解析 a 1＝1＝30，a 2＝3＝31，a 3＝9＝32，a 4＝27＝33，…， 由此猜想a n ＝3n －1(n ∈N *，n ≥1)．7．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为________． 答案 1解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． 答案 2解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 9．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 013＝________.答案 2解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.10．用数学归纳法证明n 3＋5n (n ∈N *)能被6整除时，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．答案 k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6 11．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n与n 个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n －1)．12．已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式sin αsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos 3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________． 答案 tan αtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan 3α13.已知S k ＝1k＋2k＋3k＋…＋n k，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝________. 答案 14解析 由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又各项的系数和为1，∴A ＋12＋512＋B ＝1，则B ＝－112.因此推测A －B ＝16＋112＝14.14.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B . ∴AC BC 可类比成S △ACDS △BCD， 故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则 1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数， ∴m ≠(3＋1)n . ∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项． 16．(14分)设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．17.(14分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， (a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．18．(16分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b，即证b <s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． 19．(16分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝nn ＋12·a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×2＋12a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×3＋12a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×4＋12a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130.(2)猜想a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，S k ＝k k ＋12a k ＝k k ＋12·1k ＋1k ＋2＝k2k ＋2， S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1.∴k 2k ＋2＋a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1.∴a k ＋1＝k2k ＋2k ＋1k ＋22－1＝kk k ＋3k ＋2＝1k ＋2k ＋3.当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1n ＋1n ＋2.20.(16分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论． 解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]， 得g (2)＝f 1f2－1＝11＋12－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]， 得g (3)＝f 1＋f 2f 3－1＝1＋1＋121＋12＋13－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立，那么当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．。