指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩x x时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x>1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x xx x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)xxf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。