赵爽拼图证明法：
b
c
a
图1
朱实 朱实 黄实 朱实
c
b
a
图2
朱实
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀， 将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
用赵爽弦图证明勾股定理
c a b a
b
a b
2
2
=
c
2
探讨交流
大正方形的面积可以表示为
c2
；
也可以表示为
4•ab/2-(b- a)2 ∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2
24m
9m
?
例1
如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长。 解：在Rt△ABC中 , 根据勾股定理
B
AB 25
AB AC BC 2 2 7 24 625
2 2 2
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, A 求AC的长呢？
7 24 C
人教版八年级（下）第十七章
情境导入
情境导入
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵 爽在为《周髀算经》作法时给出的. 图 1-2 是 在 北 京 召 开 的 2002 年 国 际 数 学 家 大 会 （ TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志 着中国古代的数学成就.
课堂 练 习
求下图中字母所代表的正方形的面积。
A 225 225 400
625
81 B
144
巩固练习
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
巩固练习
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=____________
x 62 22 32 4 2
x
巩固练习
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
拓展延伸
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( C )
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2
已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC 3 2
2 2
B
2
D
C
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
AD AB BD
AD 36 9 27 3 3cm 1 ( 2) S ABC BC AD 2 1 6 3 3 9 3 (cm 2 ) 2
角形三边长度之间存 在什么关系吗？与同 伴进行交流。
自主探究二
一般的直角三角形 三边为边作正方形
A
B
图3-1
C
思考： A，B， C的面积，直 角三角形三边 长度之间还有 上述关系吗？ 怎样做的？
C A B
图3-2
A B
图3-1
C
C
A
B
图3-2
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
例3
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， C 8 B D
∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
1 又AD=8 ∴BD= AD=4 2
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
A 30°
AB 2 AD 2 BD 2 82 42 48
在Rt△ABC中， AB 2 CA2 CB 2 , 且CA CB 1 2 2 2 AB 2CA CA AB 2 24 2
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦 c
股 b
a 勾
┏
2 2 2 a +b =c
探讨交流
• 是不是所有的直角三角形都具有这样的 结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题 彻底搞清楚。 • 这就需要我们对一般的直角三角形进 行证明．下面我们就一起来探究，看一 看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个 命题的．
问题1:去掉网格结论会改变吗？ 问题2:式子SA+SB=SC能用直
角三角形的三边a、b、c来表示 吗? 2 2 2
B
a +b =c
A
a a C
c b b B
c
C
A
问题3:去掉正方形结论会改变吗？ 问题4:那么直角三角形三边a、
b、c之间的关系式是:
a2 + b 2 = c 2
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。 • 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
巩固练习
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
拓展延伸
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( A ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
120
B
拓展延伸
议一议：
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量 关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
A
B
a c b
c a
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 c ∴a2+b2=c2
a
b
b c
a
b
现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学 上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以 命题1在我国叫做勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角
边长分别为a、b,斜边长为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
自主探究一
C A B 图2-1 A B 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
C
（1）你能发现图2-1中 三个正方形A，B，C的 面积之间有什么关系吗? 你是怎样得到这个关系 的？ （2）你能用三角形 的边长表示正方形的 面积吗？
（3）你能发现直角三
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD