X ( B ) P ( X 1 ( B )), B B R n 为X的分布.
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独立性 定义 1.1.10 设 (,F ,P) 为概率空间，称两事件A，B 是 独立的 （independent） 如果
P( A B) P( A) P( B)
若 A={Hi;i =1,2,..}是由可测集类 Hi 组成的集族 ，称 A是独立的，如果对任意不同的i1,…,ik
随机数学
第1讲 概率与测度
教师: 陈 萍 prob123@
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引言
随机数学涉及4个主要部分:概率论,随机过程, 数理统计,随机运筹.本课程在对概率论作适当补 充的基础上,着重介绍随机过程的基本概念及主要 结论,以备在解决实际问题中的应用. 随机过程通常被视为概率论的动态部分,在概 率论中研究的随机现象,都是在概率空间上的一个 或有限多个随机变量的规律性.但在实际问题中, 我们还需要研究一些随机现象的发展和变化过程, 即随时间不断变化的随机变量,这就是随机过程所 要研究的对象.
则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure )，且称 (,F,μ)为测度空间(measure space ). 特别，当μ( )=1时，称μ为概率测度(probability measure), 记为P，并称(,F,P) 为概率空间 (probability space). 此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发 生的概率。
Hi1 Hi1 ,...Hik Hik
P(Hi1 ... Hik ) P( Hi1 )...P( Hik )
称随机变量族 {Xi;i=1,2,…} 是独立的，如果 生成 -代数族{ (Xi), i=1,2,…} 是独立的.
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定理1.1.7 . 设 (,F,P)为概率空间, 若Ct, t∈T 为独立 的 -类 , 则(Ct), t∈T 为独立的 -代数. 注：称集类C为 类，若满足 A,B C AB C 推论1. 设 (,F,P)为概率空间, 若 {Ai, i=1,…,m, m+1,…,m+n} 为m+n个独立的 事件 , g, h表示两个事件运算，则 g( A1,…, Am)与h( Am+1,…, Am+n)独立. 推论2. 设 (,F,P)为概率空间, 若{Xt, t∈T }为独立的 随机变量族 , {gt, t∈T }为Borel可测函数族，则 {gt (Xt), t∈T }独立.
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将一枚硬币连抛三次,样本空间为 HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT 以 X k , k 1, 2,3 分别表示第k次抛出正面H的次 数, 记 F , Fk X k , k 1,2,3 (1) 试判断下列集合分别关于 F , Fk , k 1, 2,3 的可测 性.
A HHH , HHT , HTH , B HHH , HHT , THH , THT D HHH , TTT 1 若在 , F , P上定义概率 P , 8 C HHH , HHT ,
试写出随机变量 X k , k 1, 2,3 的导出分布.
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1.1 测度与可测函数
概率与测度中的基本术语及符号: E--随机试验; --样本空间; ω--样本点; A--集类;
定义 1.1.1 设F是空间上的集类，称 F 为 -代数（域） （ -algebra ）, 若满足: ① ∈ F ; ② F ∈ F FC∈ F ； ③ A1,A2,… ∈ F Ai∈ F 注: 如果F 是 -代数 ,则 F 对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.
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定义 1.1.2 设 U 是由 的子集构成的集类 . 称包含U. 的最小-代数,即 ( U ) {H ; a lg ebra of , U H} 为由U生成的-代数（ the -algebra generated by U.）
定义 1.1.3 设F为空间 的子集组成的 σ代数，称 二元组 (,F) 为可测空间 （measurable space）;
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的任一子集 F 称为F- 可测（F-measurable） 的 , 如果 F∈ F .
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定义 1.1.4 设(,F)为可测空间，μ: F R+ ，若 (1) μ()=0; (2) 若 A1,A2,… ∈ F ,且 {Ai}i≧1 两两不交，则
( Ai ) ( Ai )
i 1 i 1
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随机变量
定义 1.1.6 设 (,F) 与（E，E）为可测空间 , 函数 X: →E称为F-可测的（F-measurable）, 如果对任意 UE， X 1 (U ) ( , X ( ) U ) F 注: (p7 th1.1.6-1.1.7) (1)可测函数的"函数"仍可测; (2)可测函数的单调极限仍可测 特别，若 (,F,P)为概率空间，(E,E)=(Rn,B)，则可 测函数X称为n维随机变量（随机变量）; 1 ( X ) { X ( B); B B }.为由X生成的σ代数 ; 记 称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例1.1.1 几个常见的-代数：
1）称 {, }为最“粗”的 -代数，而称 ()= {的所有子集} 为最“细”的 -代数； 2）设 A ，则 {, , A, Ac}是- 代数； 3）设F1，F2 是 的子集组成的两个 -代数，令 F3=F1F2 ，则F3 也为- 代数； 4）设 是实数域Rn ， 是由 Rn上的一切开 集 生成的 -代数，称之为Borel 代数，B中的元素称 为Borel集.
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概率的运算性质补充：
1）下（上）连续性：设 {An,n1}F, 若An↓A, 则P(An) ↓ P(A); 若 An↑A, (n→∞), 则P(An)↑P(A);
2）加法公式： 设{Ai,i=1,…,n}为事件列，则
n n n P Ai P( A i ) (1)k 1 P( Ai1 ... Aik ) k 2 i1 ...ik i 1 i 1
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课程的主要内容
1. 测度论基础与随机过程的基本概念
2. 泊松过程与更新过程
3. 马尔科夫链
4. 鞅与Brown 运动 5. 随机微分方程
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参考书
[1] 陈萍等编， 随机数学，国防工业出版社，2008
[2] Bernt ksendal, Stochastic Deferential Equations, Springer-Verlag, 1998 [3] 冯予等编， 概率论与数理统计，国防工业出版 社，2005 [4] 工程数学--积分变换