1.7 数列前n 项和求法知识点一 倒序相加法特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中112n n a a a a -+=+=,具有这样特点的数列．思考： 你能区分这类特征吗？知识点二 错位相减法特征描述：此种方法主要用于数列}{n n b a 的求和，其中}{n a 为等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列，只需用n n S qS -便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q ≠1两种情况．思考：错位时是怎样的对应关系？知识点三 分组划归法特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，112+，11124++，……， 11124+++……+112n -，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．思考：求出通项公式后如何分组？知识点四 奇偶求合法特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如11357(1)(21)n n S n -=-++++--，要求S n ，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．思考：如何讨论？知识点五 裂项相消法 特征描述：此方法主要针对12231111n na a a a a a -+++这样的求和，其中{a n }是等差数列．思考：裂项公式你知道几个？知识点六 分类讨论法特征描述：此方法是针对数列{n a }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？考点一 倒序相加法例题1：等差数列求和12n n S a a a =+++变式1：求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++变式2：数列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++考点二 错位相减法例题2：试化简下列和式： 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠变式1：已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

变式2：求数列23,2,3,,,n a a a na ；的前n 项和变式3：求和：n n an a a a S ++++= 32321考点三：分组划归法 例三：求数列1，112+，11124++，……，11124+++……+112n -的和.变式1：5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；变式2：13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n －1),……前n 项的和是（ ）A ．2 nB ．2 n －2C ．2 n+1－n －2D ．n2n考点四：奇偶求合法 例四：11357(1)(21)n n S n -=-++++--变式1：求和：n 1n S n-3-+=1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N变式2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 变式3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n考点五：裂项相消法例五：{a n }为首项为a 1,公差为d 的等差数列，求12233411111n n nS a a a a a a a a -=++++变式1：1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；变式2：数列通项公式为n a =n 项和变式3：：求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n考点六：分类讨论法例六：在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.变式1：在等差数列}{n a 中，,369181716-==++a a a a 其前n 项和为n S . （1）求n S 的最小值，并求出n S 的最小值时n 的值； （2）求n n a a a T +++= 21.变式2：设数列}{n a 满足132,511++=-=+n a a a n n ，已知存在常数q p ,使数列}{q pn a n ++ 为等比数列.求n a a a +++ 21.变式3：已知等比数列{n a }中，1a =64，q=21，设n b =log 2n a ，求数列{|n b |}的前n 项和n S .答案及解析 考点一 例一： 等差数列求和12n n S a a a =+++111()[(1)]a a d a n d =+++++- ①把项的次序反过来，则：()[(1)]n n n n S a a d a n d =+-++--②①+②得：()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++个1()n n a a =+1()2n n n a a S +=变式1：思路分析：由mn n m n C C -=可用倒序相加法求和。

证：令)1()12(53210nnn n n n C n C C C S +++++=则)2(35)12()12(0121n n n n n n n n C C C C n C n S ++++-++=-mn n m n C C -=nn n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 n n n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210⋅+=+++++=∴ 等式成立变式2：设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++， ∴ 289S =，892S =． 考点二例二：21123(0)n n S x x nx x -=++++≠解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =(1)2n n + ②若x ≠1,则21123n n S x x nx -=++++2323n n xS x x x nx =++++两式相减得：2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --111nn x nx x-=-- ∴ 21(1)1n nn x nx S x x-=--- 变式1：思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列12,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。

解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S()2)12(5332nn a n a a a aS -++++=()()n n na n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---当nn n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时变式2：2323n n S a a a na =++++，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n n n n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．变式3：n n an a a a S ++++=32321 解：⑴2)1(3211+=+++==n n n S a n 时， ⑵01≠≠a a 时，因为 n n a na a a S ++++= 32321 ① 1321211++-+++=n n n an a n a a S a ② 由①－②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=----=---=-+++=-++)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n aa aan a a a S a n nn n n n n n n n n 综上所述，所以考点三例三：求数列1，112+，11124++，……，11124+++……+112n -的和. 解：∵ 11111242n n a -=++++ 111()1221212nn --==-- ∴1111(1)(1)224n S =++++++1111(1)242n -+++++211(21)(2)(2)22=-+-+-11(2)2n -++-11112(1)242n n -=-++++ 11222n n -=-+变式1：555555555n n S =++++个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--． 变式2：∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．变式3：C 考点四 例四：解：当n = 2k (k ∈N +)时,2(13)(57)n k S S ==-+-+[(43)(41)]k k +---2k n =-=-当21()n k k N +=-∈时，21222[(41)]n k k k S S S a k k -==-=----21k n=-=综合得：1(1)n n S n+=-变式1：解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2nn n n当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n变式2：解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++…12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…13222n n -+=+=变式3：解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列当n 为奇数时：11(1)22n n a n +=+-•=当n 为偶数时：4(1)222n na n =+-•=+即n ∈N +时， 1(1)nn a n ⎡⎤=++-⎣⎦∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n+=+++++⋅=+…考点五例五： 解：∵1111()()k kk k k k k k a d a a a a a d d a a d ++-==++1111111()()k k k k d a a d d a a +=-=-+ ∴1223111111()()n S d a a d a a =-+- 1111()n n d a a -++- 122311111111[()()()]n n d a a a a a a -=-+-++- 1111()nd a a =- 111[(1)]n a a n d -=+- 变式1： ∵1111()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++．变式2：解：∵n a===∴11n S n=+++1)(1n =++++1=．变式3：思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k 12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=)1()1()1()1()1(2)1(2a a a a n a a a n n S n n n考点六例六：解：(1))由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.所以d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n∈N *或a n ＝4n ＋6，n∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－12n 2＋212n. 当n≥12时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n≤11，12n 2－212n ＋110，n≥12.变式1：解：（1）当20=n 或21时，n S 的最小值为-630.（2）⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=21,126021232321,21232322n n n n n n T n变式2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤-++=+++++3,26011323,224113211221n n n n n n a a a n n n变式3：解：n a =1a 1-n q =n -72∴n b = log 2n a =n 7（1）当n ≤7时，n b ≥0此时，n S =－212n +213n （2）当n ＞7时，n b <0此时，n S =212n －213n +42（n ≥8） －212n +213n （n ≤7） ∴n S =212n －213n +42（n ≥8）。