一、复习：直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. 注意：L的方向向
l
a
B A
和直线L上的向量 e 做直线l的方向向量。
量是非零向量； 而且有无数多个。 平行的向量 叫
确定一条直线需要两个要素：
e
①
定点A
。
。
定位置
定方向 定位置
② 方向向量 a
巩固性训练1
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
l 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n
A
P

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.经过A点，以向量 n为平面的法向量 的平面 表示为：
AP n 0
例1：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
2 1
z
A1
M
N
C1
D1
方法一：线//线 线 / / 面
方法二：面//面 线 / / 面（） x 方法三：平面向量分解定理（）
D
A
B
C
y
方法四：向量--坐标法
例4 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上，且 BM BD, AN AE， 3 3 求证：MN // 平面CDE 简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF F 所在平面互相垂直，所以AB，AD， AF互相垂直。以 AB， AD， AF 为正交 基底，建立如图所示空间坐标系， A 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c， B 则可得各点坐标，从而有
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 单位法向量 4 x 5 y 3 z 0 有几个？ y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n （x，y，z）， 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB ， n AC 因为平面的法向量不 是惟一的。 （x，y，z） (2, 2,1) 0， 怎样算是
单位法向量。
, 垂直于平面？ (4,5,3) 0 （x，y，z）
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
C1 B1
A1
D
C
B
A
y
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
平行 垂直
平行
二、新授：平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果向量 n的基线垂直于平面 ，则称 这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做 r 平面 的法向量.（或者说向量 n 与 正交）
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
同步练习 P105 练习A T3
n (1,1,1)
n (2,2,2, v 分别是两个不同平面α,β的法向量, 根据下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
垂直 平行
相交
例 2:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
z
D1
证：设正方体棱长为1，以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立 如图所示空间坐标系 D xyz ，
则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1), B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， x AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD , 从而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 点M、N分别是对角线A1B、A1C1 的中点。求证：MN//侧面AD1； B1 1 MN AD
向量法 判断两直线位置关系 1.设 a, b 分别是两条不同直线 l1,l2的方向向 量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)