表1静安区2018学年第二学期期中教学质量调研九年级数学试卷 2019.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． （A ； （B （C （D 2．计算(1)(1)a a ---的结果是（A ） 21a -； （B ）21a -； （C ）221a a -+； （D ）221a a -+-． 3．函数2y x=-（0x >）的图像位于 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 4．如图1，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合， 那么∠1的大小是（A ）8°； （B ）15°； （C ）18°； （D ）28°． 5．小明和小丽暑期参加工厂社会实践活动，师傅将他们工作第一周每 天生产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们工作 第一周每天生产的合格产品个数，下列说法中正确的是 （A ）小明的平均数小于小丽的平均数； （B ）两人的中位数相同； （C ）两人的众数相同； （D ）小明的方差小于小丽的方差．1图16．下列说法中正确的是（A ）对角线相等的四边形是矩形； （B ）对角线互相垂直的矩形是正方形；（C ）顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形； （D ）正多边形都是中心对称图形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．计算：24a a ? ▲ ．8．如果x有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ． 93=的解是 ▲ ．10．如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ▲ . 11．某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是 ▲ ．12．已知正比例函数2y x =-，那么y 的值随x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”） 13．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是 ▲ ． 14．为了解某校九年级男生1000米跑步的水平情况，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D 、C 、B 、A 四个等次绘制成如图2所示的不完整的统计图，那么扇形统计图中表示C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 ▲ 度．15．已知点G 是△ABC 的重心，那么ABGABCS S ∆∆= ▲ ． 16．已知在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有且只有一个交点，那么⊙C 的半径是 ▲ ．17．如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是AB 的三等分点，点G 是AD 的中点，联结EC 、FG 交于点M ．已知AB a =u u u r u r ，BC b =u u ur u r ，那么向量MC u u u u r = ▲ ．（用向量表示）． 图3A B E C F G M D 图2 A D B C 30% 5%18．如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹角为60°，那么点P的坐标是▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（本题满分10分）计算：12241)1-+-．20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy y-=⎧⎨+-=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表2记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．图4表222．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．23．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．图5CFEDA BM图6BCDEF OA·在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过原点，与 x 轴的另一个交点为A ，顶点为P （3-，4）． （1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛 物线顶点为Q ，它与y 轴交点为B ，联结PB 、 PQ ．设点B 的纵坐标为m ，用含m 的代数式表示∠BPQ 的正切值；（3）联结AP ，在（2）的条件下，射线PB 平分∠APQ ，求点B 到直线AP 的距离．图7已知：如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，AB=BC=CD =6．动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的⊙P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合）， 联结PE 、PC ．设BP = x ，PC = y ． （1） 求证：PE ∥DC ；（2） 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 联结PD ，当∠PDC =∠B 时，以D 为圆心 半径为R 的⊙D 与⊙P 相交，求R 的取值范围．图8A BECDP静安区2018学年第二学期期中质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准(2019.4)（考试时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、D ；6、B ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、6a ． 8、0x >． 9、10x =． 10、m > 4． 11、20%． 12、减小． 13、14． 14、72． 15、13．16． 17、5596a b +ur u r ． 18、（4）或（0，－2）或（－，0）．三、解答题（本大题共12题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：12241)1-+-．解：原式=1312+- ··········································· （8分）52． ································································· （2分）20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x y x xy y ①②ì-=ïí+-=ïî 解：由②得：(2)(5)0x y x y -+=． ························································· （2分）原方程组可化为： 620x y x y -=⎧⎨-=⎩和 6+50x y x y -=⎧⎨=⎩．..........................................................（4分）解得：11126x y =⎧⎨=⎩和 2251x y =⎧⎨=-⎩ ．∴原方程组的解是11126x y =⎧⎨=⎩和2251x y =⎧⎨=-⎩ ． ················································ （4分） 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为：(0)y kx b k =+≠． ························ （1分）把（0，3）、（1，3.3）代入得：33.3bk b =⎧⎨=+⎩，··············································· （2分） 解得，0.33k b =⎧⎨=⎩． ················································································· （1分） ∴y 与x 之间的函数解析式为0.33y x =+． ················································ （1分） （2）把y =8，代入0.33y x =+， ····························································· （1分）得80.33x =+，解得503x =． ··································································· （2分）所以，5035533-=（小时）． ···································································· （1分）答：再过353小时后系统会发出警报． ······················································· （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD //BC ， ∴∠1=∠2．..........................................（1分）∵点M 为AC 的中点，∴AM =CM ．在△AME 与△CMF 中，12AM CM AME CMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩..............................................（1分） ∴△AME ≌△CMF ．..........................................（1分） ∴AE =CF ．∴四边形AECF 为平行四边形． ·································································· （1分） 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 为菱形． ····································································· （1分） （2）∵2CD BF BC =⋅，∴CD BC BF CD =．又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，∴AB BC BF AB =． ··········································································· （1分）又∵∠ABF =∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ． ·················································································· （1分） ∴∠2=∠3． ···························································································· （1分） ∵四边形AECF 为菱形，∴∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4． ····································································· （1分） ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD =∠1+∠3+∠4=90°，∴即∠1=30°． ······················································································· （1分）图5CF EDA B M 124323．（本题满分12分，第（1）小题8分，第（2）小题4分） 证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴»»AB AC =． ........................（1分）∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°， ∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分）∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分）又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分）（2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，∴△ODB 是等腰直角三角形．.......................................................................................................（1分）∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ，∴∠OBA ﹦∠OAB ．∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． .....................................................................................................（1分）∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=o o o o ，................................................................................（1分）∴∠ABF =∠BAC ，∴AF =BF ．.........................................................................................................................................（1分）图6 B C DE F O A·1224．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）设抛物线表达式为：2(3)4(0)y a x a =++≠．.........（2分） 把O （0，0）代入，得49a =-...................................（1分）∴抛物线的表达式：24(3)49y x =-++． ..............（1分）（2）设PQ 与y 轴交点为H ．∵P （3,4-），B （0,m ），∴PH =3，BH =4m -．........（2分） 在Rt △PBH 中，4tan 3BH m BPQ PH -∠==．...................（2分） （3）设PB 与x 轴交于点M ．由（1）得点A 坐标为（6,0-）．又P （3,4-）， ∴AP=5．∵射线PB 平分∠APQ ，∴∠APB =∠BPQ ． ∵PQ ∥x 轴，∴∠AMP =∠BPQ ，∴∠AMP =∠APB ， ··················································································· （1分） ∴AP=AM =5，∴M （1,0-）． ·························································································· （1分） 设直线PB 为(0)y kx b k =+≠，把点P （3,4-），M （1,0-）代入，得：22y x =--，∴点B 为（0,2-）． ··················································································· （1分） ∴BH=6．∵射线PB 平分∠APQ ，PH ⊥PQ ，∴点B 到直线AP 的距离为6．.........................................................................................（1分）25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分5分） 证明：（1）∵梯形ABCD ，AB=CD ， ∴∠B =∠DCB ． ····················································································· （1分） ∵PB=PE ，∴∠B=∠PEB ， ······················································································· （1分） ∴∠DCB=∠PEB ， ··················································································· （1分）图7第 11 页 共 11 页 ∴PE ∥CD ．（2）分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G.∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，PH ⊥BC ，∴四边形ADGF 是矩形，PH ∥AF ．∵AD=2，BC=DC=6，∴BF=FG=GC=2．在Rt △ABF 中，AF ==...................（1分） ∵PH ∥AF ， ∴PH BP BH AF AB BF ==62x BH ==．...................（1分）∴PH =，13BH x =． ······································································· （1分） ∴163CH x =-． ······················································································· （1分） 在Rt △PHC中，PC∴y，即9)y x =<<． ···························· （2分） （3）作EM ∥PD 交DC 于M ． ∵PE ∥DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．∴PE=DM=x ，即 MC=6-x ．PD=ME ，∠PDC=∠EMC ，又∵∠PDC=∠B ，∠B=∠DCB ，∴∠DCB =∠EMC =∠PBE =∠PEB ． ∴△PBE ∽△ECM ． ·················································································· （1分） ∴PB BE EC MC=，即232663x x x x =--．整理方程，解得：185x =． ···························· （1分） 即BE 125=．∴PD=EC=1218655-=． ·························································· （1分） 当两圆外切时，PD=P r R +，即0R =（舍去）；当两圆内切时，PD=P r R -，即10R =（舍去），2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． ····································································· （2分） M F 图8（2）A B C DP G 图8（1） A D F G H B C P。